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A. Voss 
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P 2 + Q 2 
folgt, der für P = 0, d. h. für die Punkte der Rückkehrkurve 
wieder in - übergeht, was übrigens selbstverständlich ist, da 
die beiden Kurven u, v hier überall zusammenfallen. 
§ iv. 
Kurvensysteme auf den Kanal- und Röhrenflächen. 
Die Differentialgleichungen der wichtigsten Kurvensysteme 
sind auf den Kanalflächen im allgemeinen nicht einfach. Auch 
für die Röhrenflächen ergeben sich keine unmittelbar zu über- 
sehenden Resultate; nur für die Röhrenflächen der gewöhn- 
lichen Schraubenlinie kommt die Lösung auf verhältnismäßig 
einfache Quadraturen hinaus. Wir begnügen uns mit den fol- 
genden Andeutungen: 
1. Die zweite Schar der Krümmungslinien. Sie ist 
nach § II, 5 gegeben durch die Differentialgleichung 
Dies ist eine Riccatische Gleichung für v , die für £ = 
tg ^ die Form 
Li 
= 0 
annimmt. So erhält die Variabele £ in der Nornnalebene von 
C im Punkte P eine unmittelbar ersichtliche geometrische 
Bedeutung, welche zugleich zeigt, wie aus drei Krümmungs- 
linien durch eine ganz einfache Doppelverhältniskonstruktion 
jede vierte abgeleitet wird 1 ). Die Riccatischs Gleichung ist 
] ) Man betrachte den am Ende des § I angegebenen erzeugenden 
Kreis der Kanalfläche vom Radius e, dessen Radien bei der Projektion 
