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M. Hamburger 
( 2 ) 
entwickeln, wo sämtliche a r reelle von Null verschiedene Zahlen 
bedeuten. Zu jeder Potenzreihe (1) existiert ein und nur ein 
solcher Kettenbruch (2) und umgekehrt 1 ). 
Bezeichnet man mit 
von S(z), so ergibt sich unmittelbar aus der Gestalt des Ketten- 
bruches: die P m (z) und Q m (ß) sind Polynome in z und zwar 
sind Pi„{e) und P 2n -i(z) vom Grade n — 1, Q 2 ,„(z) und 
Qm-i 00 vom Grade n. Ferner ist für z = 0 
in eine für 
Endlich läßt sich der Näherungsbruch 
hinreichend große Werte von z konvergente Potenzreihe der 
Gestalt 
entwickeln, und zwar wird, wie man auf Grund der Fundamental- 
formeln für Kettenbrüche 
_ PmQ) = (— l) m S s 
C®) Qm (^) $m + l (P) Qm (^) 
leicht erkennt, 
c< m) = c r für v = 0, 1, . . ., tn — 1. 
Durch die letzte Eigenschaft ist der Kettenbruch (2), wenn 
die Potenzreihe (1) vorgegeben ist, eindeutig bestimmt. 
J ) Ygl. etwa Oskar Perron, „Die Lehre von den Kettenbrüchen“, 
Leipzig 1913, S. 301 — 307 und S. 375; in folgendem kurz mit Perron, 
Lehrbuch, zitiert. 
2 ) Vgl. z. B. Perron. Lehrbuch, S. 382. 
