Über eine Erweiterung d. Stieltjösschen Momentenproblems. 385 
Hierbei bedeuten tp (u ) , 99, (u) und fp i {u ) im Intervall 
0 < u <C 00 definierte reelle, nirgends abnehmende Funktionen 
und die Integrale sind Stieltjessche. 
Es gelten ferner die sogenannten Momentengleichungen ; 
im Falle I: 
(7) 
im Falle II: 
c v = I u r dtp (m) 1 ), 
t/ 
ü 
co m 
= J* u y d(p x (u) = l' u v dtp 2 ( u ) . 
Aus diesen Gleichungen ergibt sich, daß die Funktionen 
f(z), fi fi ( z ) der Formeln (5) und (6) durch die Potenz- 
reihe (1) asymptotisch dargestellt werden 2 ). 
5. Das Problem zu einer vorgelegten Folge von Koeffi- 
zienten c„ eine im Intervall 0 < u <C co definierte reelle, nir- 
gends abnehmende Funktion tp (u) zu finden, die den Glei- 
chungen (7) genügt, nennt Stieltjes das Momentenproblem. 
Man findet leicht eine notwendige Bedingung für die Lösbar- 
keit des Momentenproblems, indem man berücksichtigt, daß 
die mit den Koeffizienten (7) gebildeten quadratischen Formen 
n-i 
^‘,>‘C I+X x l x y . = (a: 0 -f- u x x 4- • • • -j- u*-' Xu-x) 1 dtp (u) 
n — 1 
* C, + K + 1 x,x H = \ u {x 0 -f- U Xj + • • • -f- u 11 - 1 Xn-i ) 1 dtp (w) 
u j 
0 
für jedes n positiv definit, also ihre Determinanten C n und 
B tx sämtlich > 0 sind. 
Durch die bisher angegebenen Sätze ist aber auch be- 
wiesen, daß, wenn die aus den vorgegebenen Koeffizienten c v 
gebildeten Determinanten C„, und 13, n sämtlich positiv sind, 
das Momentenproblem immer mindestens eine Lösung besitzt, die 
durch Grenzübergang aus dem Kettenbruch (2) gewonnen wird. 
1 ) Stieltjes, VIII, S. 92 — 93; Perron, Lehrbuch, S. 410—411. 
2 ) Stieltjes, VIII, S. 35; Perron, Lehrbuch, S. 413. 
