Über eine Erweiterung d. Stieltjesschen Momentenproblems. 38/ 
s Pole haben können, von — oo bis -j- oc ' erstrecken, 
gibt sich also 
(8) 
lim 
p = OC 
iVf) 
Qm p (*) 
+ 00 
-= m = J 
drp (u) 
3 -j~ U ’ 
— 30 
Es er- 
wo <p(u ) eine im Intervall — oo < «( < -j- oo definierte reelle, 
nirgends abnehmende Funktion bedeutet. 
Außer dem Grommerschen Auswahltheorem war bisher 
.über den Fall (7 m > 0, B m < 0 nichts bekannt. Es läßt sich 
nun zunächst zeigen, daß die Integrale 
+ 00 
(9) J u v clcp ( u ) 
00 
für alle ganzzahligen nicht negativen Werte von v existieren 
und gleich c r werden. Demzufolge wird die Funktion f(z) 
der Formel (8) durch die Potenzreihe (1) asymptotisch dar- 
gestellt; das heißt aber, das Momentenproblem , wobei die 
Momente jetzt die Gestalt (9) annehmen, besitzt immer min- 
destens eine Lösung, wenn die Determinanten G m sämtlich positiv 
und die Determinanten B m sämtlich von 0 verschieden sind. 
Daß die Bedingung C m > 0 für die Lösbarkeit des Momenten- 
problems in seiner neuen Gestalt auch notwendig ist, bemerkt 
man unmittelbar, wenn man die positiv definite Form 
i +* 
n — 1 r» 
(10) £«,* c,+ y .x t x-, — \ (x 0 + ux 1 -f- • • • -f u*~ x Xn-tf d(p (u) 
0 
— oo 
betrachtet. 
7. Es bleibt jetzt noch übrig, die Frage nach der Be- 
stimmtheit des Momentenproblems im Zusammenhang mit dem 
Problem der Konvergenz des Kettenbruchs 5 (s) zu unter- 
suchen. Während im Stieltjesschen Falle sich die Konvergenz- 
eigenschaften des Kettenbruchs S (s) direkt angeben lassen, 
und man aus der Konvergenz (Divergenz) von S ( 3 ) auf die 
Bestimmtheit (Unbestimmtheit) des Momentenproblems (7) 
schließt, werden im Falle B,„ < U die Konvergenzeigenschaften 
