Über eine Erweiterung d. Stieltjesschen Momentenproblems. 3.89 
so konvergieren im Falle II' die Polynome G„ (?) und H n (z) 
in jedem ganz im endlichen gelegenen Bereich der ^-Ebene 
mit wachsendem n gleichmäßig gegen ganze transzendente 
Funktionen mit nur reellen einfachen Nullstellen; es ergibt 
sich also 
(13) lim (J n (z) = g(z), lim it„(z) — h{z). 
fl = GO 11= OB 
Außerdem besteht zwischen den vier ganzen transzendenten 
Funktionen r (z ) , s (.;) , g{z) und h (z) in Analogie zu (4) die 
Beziehung 
r (z) h{z) — s (z) g (z) = 1 . 
Die Polynome P> n (z) und Qi n {z) konvergieren also einzeln 
im Falle II' dann und nur dann, wenn ein endlicher Grenz- 
wert lim o n = o existiert. 
n= » 
Ist lim o n — :o, das heißt besitzt die Menge der Zahlen a n 
n = co 
keinen im endlichen gelegenen Häufungspunkt, so wird 
I • " (f) _ i ■ t_Cf) __ r (f) . 
n = i Ql n (*) n = « Qi „ - 1 (z) S (z) ' 
dann und nur dann ist also der Kettenbruch $(•£■) konvergent 
für den Fall, daß das zugehörige Momentenproblem (9) unbe- 
stimmt ist. 
Wenn alle B nl > 0 und damit auch alle a>»> 0 sind, die 
Reihen (11) beide konvergieren und lim \n n = oo ist, so ist nach 
u = cc 
den Stieltjesschen Sätzen I das Momentenproblem (7) bestimmt, 
das Momentenproblem (9) nach unsern Sätzen II' unbestimmt. 
8. Eine fast noch größere Rolle als der Kettenbruch der 
Gestalt (2) spielt in der mathematischen Literatur der Ketten- 
bruch *) 
( 14 ) 
K(z) - 
7c, 
* -H, + 
h 
z 1 2 
9 Vgl. z. 11. Perron, Lehrbuch, S. 322—326 und S. 376. 
