2. Es sei nun 
(1) (p{s) = f- -\ — 
eine Potenzreihe der komplexen Veränderlichen 0 mit beliebigen 
komplexen Koeffizienten. Der Kreis \ Z = 1 sei ihr Konvergenz- 
kreis und die Summe cp (s) der Reihe (1) sei im abgeschlos- 
senen Konvergenzkreise \z\<Z\ stetig, d. h. es soll 
lim 9? (re*®) (0<r<l) 
r = 1 
existieren und zwar gleichmäßig im Intervalle 0 < 0 < 2 .-r. 
Ich frage: 
1. Kann eine Potenzreihe (1) an einer Stelle des Kon- 
vergenzkreises die du Bois-Reymondsche Singularität haben? 
Diese Frage ist, wie schon früher von mir gezeigt wurde, 
zu bejahen^). 
2. Kann eine Potenzreihe (1) die Lebesguesche Singularität 
(in dem oben für die Fourierreihe definierten Sinne) haben? 
Diese Frage ist ebenfalls zu bejahen. Das soU durch Kon- 
struktion eines Beispiels zum erstenmale in § 1 bewiesen werden. 
§ I. Beispiel einer Potenzreihe, deren Summe für \ überall 
stetig ist, und die an der Stelle z = I die Lebesguesche Singu- 
larität aufweist. 
3. Da ich mich hier auf meine früheren Arbeiten nicht 
stützen will, muß ich einiges vorausschicken. 
Eine Bezeichnung. Es sei ^Un eine unendliche Reihe 
n = 1 
mit beliebigen komplexen Gliedern und 
9\^ 92^ 9i • •• 9'’ ’ ’ • 
’) Über gewisse Potenzreihen an der Konvergenzgrenze, Jahrg. 1910 
dieser Sitzungsberichte; vgl. auch: Sur les singularites de la serie de 
Fourier des fonctions continues, Annales de l’Ecole Normale (3), 28 (1911). 
Später habe ich noch einen andern Beweis gefunden: s. E. Landau, Dar- 
stellung und Begründung einiger neuerer Ergebnisse der Funktionentheorie 
(Berlin 19161, § 3, S. 23 — 25. — Die Frage, ob eine Potenzreihe, deren 
Summe für ^1 überall stetig ist, an einer Stelle des Einheitskreises 
l 2 | = l die du Bois-Reymondsche Singularität aufweisen kann, rührt 
von Herrn A. Pringsheim her (s. meine oben zitierte Münchener Arbeit). 
