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L. Fejer 
X 
12. Die Reihe hat komplexe Koeffizienten. Will 
k=i 
man eine Reihe mit denselben geforderten Eigenschaften, deren 
Koeffizienten sämtlich reell sind, so bilde man die Reihe 
(33) S (^fc “h &ü) = S Cft 
k=l *=1 
Diese Potenzreihe hat lauter reelle Koeffizienten, und es 
ist auf Grund des Vorhergehenden sehr leicht einzusehen, daß 
sie alle geforderten Eigenschaften besitzt. 
§ 2. Über die verschiedenen Möglichkeiten des Auftretens der 
Du Bois-Reymondschen und Lebesgueschen Singularität bei 
konjugierten Reihen. 
13. Es sei 
(34) a^z-\ra^s^A a„z'' 
eine beliebige Potenzreihe, deren Summe für stetig ist und 
die auf jedem Bogen z = e'^, e ^ 0 <C 2 .t — e, gleichmäßig kon- 
vergiert. (Hier bedeutet e wieder eine beliebig kleine, aber 
feste positive Zahl.) Sie soll aber nicht auf dem ganzen 
Einheitskreise \z\ = \ gleichmäßig konvergieren. 
Betrachten wir die reelle und imaginäre Komponente der 
Potenzreihe (34) für z — e'^, d. h. die Reihen 
X X 
S (a„ cos nS — t„ sin nS), S (vn cos » 0 + o„ sin « 0) , 
>i = I n = 1 
ö« i- ir,, = a„, w = 1, 2, 3 • • • 00 . 
Diese sind die Fourierreihen je einer überall stetigen und 
nach 2 .T periodischen reellen Funktion von 0. Beide Reihen 
konvergieren gleichmäßig im Intervalle e 0 ^ 2 .-r — £, (e > 0). 
Nun sind bei einer Potenzreihe wie (34) für die Stelle 
0 = 0 offenbar nur die folgenden 3 Fälle denkbar^): 
1. Fall: die eine Komponente von (34) hat an der Stelle 
0 = 0 die du Bois-Reymondsche Singularität, und die andere 
Komponente hat an der Stelle 0 = 0 die Lebesguesche Sin- 
gularität ; 
^) Zwei weitere denkbare Fälle lassen sich leicht ausschliehen. 
