über Potenzreihen etc. 
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2. Fall: beide Komponenten haben an der Stelle 0 = 0 
die du Bois-Reymondsche Singularität; 
3. Fall: beide Komponenten haben an der Stelle 0 = 0 
die Lebesguesche Singularität. 
Ich bin jetzt in der Lage, zu zeigen, daß alle 3 denk- 
bare Fälle auch wirklich auftreten können. 
Beweis. 1. Fall: dieser tritt bei der Reihe (7) 
(7) a, .e’ -|- « 2 '^* + ’ • • + + ■ • • auf ^). 
2. FaU: dieser tritt bei der Reihe 
(35) £(1 
&=i 
auf. In der Tat ist die reelle Komponente der Potenzreihe (35) 
für z = e‘® 
00 
(36) S {flu cos Ä 0 — a* sin ^ 0) , 
fc= I 
und die imaginäre Komponente 
cc 
(37) S («ft cosÄ:0 -j- sinÄ:0). 
ft = i 
00 
Beide gehen für 0 = 0 in die Reihe S «ft über, welche 
divergiert. * ~ ' 
3. Fall: dieser tritt bei der Reihe (8), oder auch bei 
der Reihe 
(33) c^z -\r c^z^ h Cft ■s’* + • • • 
auf. Würde nämlich die eine Komponente von (33) für z = \ 
gleichmäßig konvergieren, so müßte auch die andere Kom- 
ponente von (33) für \z\=-\ gleichmäßig konvergieren. (Das 
folgt aus meinem Satze: wenn die Summe einer Potenz- 
Ü Zum erstenmal bewiesen in meiner Note: Sur une paire de series 
de Fourier conjuguees, C. R., Paris (28 fevrier 1910); ausführlicher in 
meiner oben in der Fußnote auf S. 34 zitierten französischen Arbeit. 
Einen zweiten auf einem allgemeinen Satze über konjugierte trigono- 
metrische Reihen beruhenden Beweis findet man in meiner Arbeit: Über 
konjugierte trigonometrische Reihen, Journ. f. Math., Bd. 144 (1914). 
