über Potenzreihen etc. 
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Betrachten wir nun die Potenzreihe 
(46) -j- ■ -j- Ak ■ 
Ich behaupte : die Potenz reihe (46) ist zwar für \ s\ = 1 
gleichmäßig konvergent (und folglich ist ihre Summe 
fürj.e'|<l stetig), sie ist aber an keiner Stelle des Ein- 
heitskreises .^1 = 1 absolut konvergent^). 
Beweis. Ich benütze die alten Benennungen und Bezeich- 
nungen, nur daß sich jetzt eben alles auf die Reihe (46) bezieht. 
G. H. Hardy: On the summability of Fouriers series, Proceedings London 
Math. Soc. (2), 12, part 5; s. insbesondere Nr. 6, S. 371—372. 
Beispiele von Potenzreihen, welche für 1^1 = 1 ausnahmslos und 
dennoch nicht absolut konvergieren, wurden zum erstenmal durch Herrn 
A. Pringsheim konstruiert. S. A. Pringsheim: „Über das Verhalten 
von Potenzreihen auf dem Konvergenzkreise“, Jahrg. 1900 dieser Sitzungs- 
berichte; s. insbesondere § 3, S. 68 — 78. (Hier findet man auch die ältere 
Literatur.) Es ist aber noch heute unentschieden, ob es unter diesen 
Pringsheimschen Potenzreihen eine solche gibt, die eine für |^|=1 
überall stetige Summe hat. Die Frage nach einer Potenzreihe, deren 
Summe für überall stetig ist, und die für \z \ < l gleichmäßig, 
aber für \z\ = \ nicht absolut konvergiert, wurde mir im Jahre 1910 
gesprächsweise durch Herrn H. Bohr gestellt. (Vgl. auch Pringsheim, 
1. c. S. 77.) Ich habe auf Grund meiner asymptotischen Darstellung 
von e„ vermutet, daß die Potenzreihe 
1 
V\ — z e‘~' = + 
diese Eigenschaft besitzt, was auch von Herrn Marcel Riesz durch 
Heranziehung eines bekannten Hardy sehen Satzes alsbald erwiesen wurde. 
Später fanden die Herren Marcel Riesz und G. H. Hardy auf ganz 
anderer Grundlage äußerst elegante Beispiele dieser Art; s. G. H. Hardy: 
A Theorem concerning Taylors series, Quaterly Journal of Mathematics, 
Nr. 174 (1913), s. insbesondere Nr. 12, 13, 14, S. 157 — 160. (Auf S. 160, 
1 
oben, steht ein offenbarer Druckfehler; es soll da heißen kl — ^ 

statt kl — X e' ^./ Über das Hardysche Beispiel vgl. auch das in der 
Fußnote auf S. 34 zitierte Buch des Herrn Landau, §11, S. 61: „Hardy- 
sches Beispiel“. Im Texte wollte ich nun besonders zeigen, daß meine 
bereits zur Konstruktion zahlreicher anderer Beispiele dienliche Methode 
auch hier einfach zum Ziele führt. 
Sitzungsb. d. matb.-phys. K!. Jahrg. 1917. 
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