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Die beiden Geraden-Kugeltransformationen 
von Sophns Lie. 
Von Hans Beck. 
Vorgelegt von S. Finsterwalder in der Sitzung am 3. März 1917. 
In seiner Abhandlung „Die Liesche Geraden-Kugeltrans- 
formation und ihre Verallgemeinerungen“ beklagt Herr H. Lieb- 
mann mit Recht, daß „keine der zahlreichen Darstellungen der 
Lieschen Geraden-Kugeltransformation die einfachen Gedanken- 
gänge der projektiven Geometrie scharf Umrissen in den Vorder- 
grund treten“ lasse. Dann leitet Herr Liebraann die beiden 
Lieschen Transformationen unter Weiterbildung eines von Reye 
angegebenen Verfahrens®) synthetisch ab. 
Bei Lie werden die Punkte eines Raumes abgebildet, das 
einemal auf die Tangenten einer singularitätenfreien Fläche 
zweiter Ordnung („erste“ Transformation), das anderemal auf die 
Treflfgeraden eines irreduziblen Kegelschnitts („zweite“ Trans- 
formation). Daraus folgt die Abbildung der Geraden des 
Raumes auf die Kugeln der (I) Nicht-Euklidischen und (H) 
Euklidischen Geometrie. 
Damit ergibt sich nun aber die Möglichkeit, beide Fälle auf 
denselben Ursprung zurückzuführen. Erst dadurch fällt volles 
Licht auf die gegenseitigen Beziehungen der beiden Abbildungen. 
Da der von Lie gegebene Formelapparat das nicht er- 
kennen läßt, so geben wir im nachfolgenden eine Darstellung, 
die im wesentlichen analytischer Art ist, und insofern eine 
Ergänzung der Liebmannschen Arbeit bildet. 
1) Sitzungsber. d. Kgl. Bayer. Akad. d. Wiss. 1915, S. 189 — 198. 
2) Geometrie der Lage, Bd. 2, 3. Aufl., S. 185—187. 
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