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H. Beck 
Ira Gegensatz zu Liebmann beginnen wir mit dem sieb 
auf die Nicht-Euklidisclie Geometrie beziehenden Fall (I) und 
vollziehen dann mit den Formeln (die der Verfasser bereits zu 
anderen Zwecken früher^) angegeben hat), den Grenzübergang 
zum Falle (II) der Euklidischen Geometrie. 
Durch diese ßehandlungsweise erst tritt die eigenartige 
Struktur des Geradenraumes klar zutage, in welchem sich ein 
Strahlsystem erster Ordnung und erster Klasse mit (I) getrennten 
oder (II) zusaramenfallenden Leitlinien als von fundamentaler 
Bedeutung erweist. 
Ausgedehntere Anwendungen, die zum Teil auf das Gebiet 
der schönen Berwaldschen Arbeit über die algebraisch rekti- 
fizierbaren Kurven im Nicht- Euklidischen Raum^) hinüber- 
führen, haben wir nur andeutungsweise gestreift, zumal die 
demnächst erscheinende Studysche Arbeit darüber näheres ent- 
halten wird. 
1. Grundfläche, Tangentenkomplex. Die erste Liesche Trans- 
formation bildet die Punkte eines ersten Raumes (»Punkt- 
raum“) auf die Tangenten einer singularitätenfreien Fläche 
zweiter Ordnung eines zw'eiten Raumes („Bildraum“) ab. Die 
Fläche heiße Grundfläche. 
Ihre Gleichungen seien: in homogenen (Tetraeder-) Punkt- 
koordinaten 2 9 2 9 2 9 2 A / J. 
xl — X^Xl — x^xl — x^xl = (x 0) 
also in homogenen Ebeuenkoordinaten 
^ io il i2 is 
Für eine Tangente der Grundfläche gelten die beiden 
Gleichungen 
n, + -h 11 - XL - XL - XL = 0 , 
^01 ^02^31 “l“ ^03^12 ~ 
wobei Xo, =Xoy,— x, = y., ^3 — usw. 
Ber. der Kgl. Sachs. Ges. d. Wiss. 6 t (1912), S. 55. D. Math. 
Vgg. 22 (1913), S. 237-239. 
Sitzungsber. der Kgl. Bayer. Akad. d. Wiss. 1916, S. 1—18. 
