Die beiden Geraden-Kugeltransformationen usw. 
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Sie lassen sich sofort durch die beiden folgenden ersetzen : 
(Xq, + + (^02 + + (^03 + = 0, 
(Io, — i H 1^3)2 + (I02 — ^ ^ ^31)" + (^03 — ^ ^ ^12)^ = 0, 
die sich in bekannter Weise allgemein befriedigen lassen: 
Xoi + loi — ^^^23 = — 
(1) I02 + ^ ^31 = * ^02 — ^ ^ ^31 = * + z“®)» 
^03 ”f" ^ ^ ^12 ~ ^03 ^ ^ ^12 2 X fX. 
Damit haben wir eine Parameterdarstellung des 
Tangentenkomplexes der Grundfläche, und darin liegt 
bereits die erste Liesche Transformation. 
Aus den Umkehrungen dieser Formeln 
2 = Iq! “h ^ ^31 ^ (^02 ^ ^23)’ ‘21 tu - Iqs ^ tc Ij2 , 
2 ni^ = Iqi “t” ^ ^31 ^ (^02 ^ ^23^» 
2 = Iqi ^ ^31 * (^02 ~t~ ^ ^ 23 )’ 2 X fl 1,03 i Ij2 ) 
2 = Iqi ^ ^31 ^ (^02 ^ ^23) 
lassen sich wegen der Homogenität der Plückerschen Koordi- 
naten I eindeutig die Verhältnisse l : m und X : ,u berechnen, 
aber nicht l : X, sondern nur P : X^. Behandelt man also die l, 
m, A, u als homogene Koordinaten eines Punktes im Punkt- 
raum, so werden der Tangente .1 der Grundfläche durch die 
Formeln (1) zugeordnet die beiden Punkte des Punktraumes 
l : m : X : fl und l :m : — A : — fi. 
Zwei solche Punkte werden durch eine spezielle involu- 
torische Kollineation des Punktraumes vertauscht. Wir nennen 
sie ein Punktepaar. 
Satz 1. Durch die Formeln (1) wird jedem Punkte 
l :m: X: fl des Punkt raumes eindeutig eine Tangente I 
der Grundfläche zugeordnet; umgekehrt entsprechen 
aber einer Tangente der Grundfläche zwei Punkte des 
Punktraumes, die ein Paar bilden. 
2. Struktur des Punktraumes. Verbindet man die beiden 
Punkte eines jeden Paares miteinander, so erhält man für die 
00 ® Punktepaare nicht 00 ^, sondern nur cc^ Verbindungsgerade, 
