58 
H. Beck 
+ ^23 = ipl^—ph) A + ( -Po2Po^-Pz^P^2) 2 ’-l ^2 + {pll~P\i)A, 
^02 + ^^^31 = i(;>03+i>3l)T? + i(-i)o2i?o3+/’3li’l2)2^l’'2+K/>M+K2)^l 
^03 *^^12 ~1“ ^PoiPsx ”1” i.PoiP\2 2^02^*3i)2 ^2 ^PmPxi^'^' 
Xo, — ijiXas = pli{A — T^), 
(7) Xo2 — iPiXj, =i9l3i(Tj + T^), 
Xo3 — X,2 = p\i • .— 2 T, Tj . 
Aus den Formeln oben lassen sich t*, 2r^T^, x\ eindeutig 
ausrecbnen. Setzt man die dafür gefundenen Werte unten ein, 
so erhält man für den Regulus drei lineare Gleichungen. 
Der gesuchte sphärische Regulus besteht demnach als 
Schnitt dreier Gewinde aus den Erzeugenden der einen 
(der) Schar einer Fläche zweiter Ordnung. Das gilt 
auch noch in den beiden Sonderfällen. 
Durch den Punkt 0 , : (^1 ^ ^ 2 ) Geraden p (vgl. (6)) 
läuft die Kongruenzgerade (in den beiden Sonderfällen je eine 
Ausnahme): 
0 : Oj (Po2 ^2 P\2 ^ 1 ) • (Pn3 ®2 ~1~ P 31 ®i) • ^ • ®2 (Pn3 ^2 ~t“ P 31 ®i) • 
^2iPa2^2 — Px2^l)- 
0 : D (Po3 — P.)2 ^ 2 ) : ^'2 (Po3 — P 02 ^ 2 ) = 0 : r.^ {p.,^ t, + p^^ x ^) : 
— ■^l(P31^1 +i’l2’'2)- 
Jeder der so erhaltenen 00 ^ Kongruenzgeraden entspricht 
eine nach (5) zu bildende Tangentialebene. Diese 00 ^ Tan- 
gentialebenen laufen sämtlich durch den Punkt 
(9) — X (po 3 — p^^) :i )„2 + i?3i : ^ (Po 2 — P 31 ) : “ (Po3 + ^ 12 )- 
Wie man durch Bildung des Ausdrucks 
xl — y^x\->c^xl — y^xl 
der für den Punkt (9) den Wert ^x^p^^p.^^ hat, erkennt, liegt 
der Punkt (9) für den allgemeinen Fall niemals auf der Grund- 
fläche, dagegen immer in den beiden Sonderfällen, wo die 
Gerade p eine Leitgerade trifft. 
In jeder Tangentialebene der Grundfläche durch den Punkt (9) 
liegt nun eine einzige Regulusgerade. Da sie Tangente der 
Grundfläche ist und Erzeugende einer andern Fläche zweiter 
