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H. lieek 
ihi-, insofern liegt eine orientierte Ebene vor, was natürlich 
durch eine Gleichung in Punktkoordinaten nicht zum Ausdruck 
gebracht werden kann. Ist ti Kongruenzgerade (Tr^, = — 
'^12 ~ ^)> wird die Ebene isotrop (Miniinalebene); der Regulus 
ist das eine einzige Büschel von Minimalgeraden in ihr. 
Im Falle ^ 0 stellt ( 25 ) eine Kugel vom Radiusquadrat 
— (-"ros — ^12)* : ^01 = (nach (20 a)) dar, die also, falls n dem 
Hauptgewinde 71^3 — 77,3 = 0 angehört, zu einem Minimalkegel 
wird. Der Mittelpunkt der Kugel (des Miuimalkegels) ergibt 
sich aus ( 24 ), wenn man darin = 0 setzt. Ist der Radius 
von Null verschieden, so besteht der zugehörige Regulus nur 
aus einer einzigen Schar von Erzeugenden der Fläche ( 23 ). 
Diese erhält man aus ( 19 ), wenn man darin (vgl. (6)) setzt 
•’O • '=1 • ’2 • ~ ^01 • ^01 ^2 • ^02^2 ^12^1 • ^03^2 ^31 ' 
Die Formeln ( 19 ), ( 20 ), ( 23 ), ( 24 ) gelten also in gleicher 
AVeise für beide Liesche Transformationen. 
15. Abbildung des Gewindes auf eine Punktmannigfaltigkeit. 
Der leitende Gedanke der bisherigen Ausführungen bestand 
darin, daß die Punkte (Punktepaare) des Punktraumes ab- 
gebildet wurden auf die geraden Linien gewisser spezieller 
quadratischer Komplexe. Eine andere Behandlung hätte von 
den Punkten des Bildraums ausgehen können, die auf die 
Geraden (Geradenpaare) eines nicht ausgearteten Gewindes im 
Punktraum bezogen werden. Hierdurch kommt man zu einem 
anders gearteten Zusammenhang zwischen den beiden Lieschen 
Transformationen. Der Grundgedanke kommt bereits bei F. Klein 
im Erlanger Programm vor. Wir wollen dazu die analytischen 
Entwicklungen geben, die auch erkennen las.sen, warum wir 
den von uns eingenommenen Standpunkt für vorteilhafter halten. 
In einem Raum von vier Dimensionen seien fo, : • ^3 
homogene Punktkoordinaten. Wir setzen 
4 fo • ^0 • ^1 • ^2 • ^3 ^ (^01 ^ ^23) • ^ (^01 ^23) • 
( 26 ) 7 T(,g -j- TTjj . i (tTqj ^31) • ('^03 ^12^ > (^ ^ 9 ) 
WO die 77 Plückersche Linienkoordinaten sind. 
