über die Potenzsummen der natürlichen Zahlen. 
153 
I a) S* = 0 ; niod w -j- 1 für » = 0 mod 2 
ist. Ist aber n ungerade, so gilt dasselbe, nur bleibt das 
i\ A (n — 1\* 
Mittelglied ( -^ — j übrig, da das vorhergehende I - ^ — ) 
/ n 1 \'‘ 
das folgende ( w + 1 ^ — j ist. Soll auch dies durch w 1 
teilbar sein, so muß 
{n + ly* = 2''{n ^l)q 
oder {n -f- 1)*"' = 2*^, wo q eine ganze Zahl ist, sein. 
Da nun w = 2 Z: -j- 1 , so folgt 
(A: + 1)A-. = 22 
und diese Gleichung ist dann und nur dann erfüllt, wenn Ic 
eine ungerade Zahl ist. Es ergibt sich daher 
Ib) = mod. w + 1, 
wenn n — 4Z: — 1 oder = 2,Ti ist. 
Ebenso ist in S* die Summe des ersten und vorletzten 
Gliedes usw. durch n teilbar. Bei ungeradem n ist daher 
II a) S'* = 0; mod. n. 
Ist dagegen n gerade, so bleibt das Mittelglied ührig, 
da das vorhergehende folgende — 1^^ 
ist. Dies aber ist gleich dem w fachen einer ganzen Zahl q, 
wenn = 2* 2 
ist, was dann und nur dann der Fall ist, wenn n = 21c., also 
Ä*-' =2 2, 
oder k selbst eine gerade Zahl ist. Es ist daher allgemein 
1) 25" = 0; mod. w(w -h 1), dagegen 
/S" = 0 ; mod. n \ für n = 2k, 4Ä: — 1 
21 
S" = 0; mod. n für n = 2k — 1, 4:k 
bei ungeradem /<. 
