über die Potenzsummen der natürlichen Zahlen. 
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Daß übrigens (2n + 1) ((2n -)- 1)*~' — 1) in II) bei un- 
geradem h immer den Faktor 2^ enthält, sieht man sofort, 
wenn man die beiden letzten Glieder der Entwicklung von 
(2» -j- 1)''“’ — 1 zu 
2 n (Ä — 1) (n {h — 2) 4- 1) 
zusammenrückt. Und ebenso enthält die linke Seite von IV) 
den Faktor 2^, denn die Vereinigung der beiden letzten Glieder 
derselben liefert hier 
2nh{n(h — 1) -f- !)• 
§ 3. 
Beziehungen zwischen <S* und S’'. 
Wir betrachten jetzt gleichzeitig die beiden Summen 
= U 4- 2" + • . . + w'* 
= 1* 4- 3* 4- h (2w - l)^ 
Aus der Identität 
= {p — {2n — 1))'" -F (o — (2 w — 3))" 4 
4 - ( 0 - 3 )'« 4 - («-!)" 
für 
2 ) 
o = 2n \ erhält man 
2*S‘ = reo» — ( j) o»-‘2'' + ß) 4 
+ (-l)*-'(l)»^'-' + (-l)*^*. 
Aus den Gleichungen 
A-'« = 1 4- 3'« 4- 5'« 4 1- (2n — 1)" 
2'« S'« = 2^^ 4- 4* 4 F (2w — 2)'« 4- (2 w)'« 
folgt durch Addition 
3) 
VA 2" S'‘ = -S" 4- P, 
falls p = (W 4- 1)" 4- (w 4- 2)'« 4 F (2 nf 
gesetzt wird. Bringt man nun P auf die Form 
P = (p — w)'« 4- (o — (w — 1))'« 4" • • * F (o — 1)'«, 
