über die Potenzsummen der natürlichen Zahlen. 
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b) Aus der Identität 4) folgt ferner durch Entwicklung 
nach den Potenzen von n 
6) 2-^ + 2 (2^ — 1) = (— l)^+> ; mod. n + 1 
bei jedem h. Ist nun h ungerade, mithin 2 S'‘ nach § 1, 
1) durch n -\-l teilbar, so hat man 
2'^ = 1 ; mod. n Ä = 1 ; mod. 2. 
Bei geradem h wird dagegen 
(2'^ + 1) (2^ — 1) = 0; mod. w -p 1 für 7i = 0; mod. 2. 
Es ist also 2^ bei ungeradem h nie durch n \ 
teilbar; bei geradem h kann 2'^ nur etwa solche Fak- 
toren mit w -(- 1 gemein haben, die zugleich in 2* — 1 
enthalten sind. 
c) Für ungerades li ist ferner 
2 h Sh ^ 2"^' = ((2 w — 2y + 1^0 + ((2 n — Sy-\- 2^‘) -\ 
-p (w* + (w — 1)'^) + (2 w — ly -p (2 ny. 
Da jedes der n — 1 eingeklammerten Paare den Faktor 
Oj = 2n — 1 hat, folgt 
7) 2'^/S'^ -j- 2'^ = -p 1 ; mod. Oj für li= 1; mod. 2. 
Ist dagegen h gerade, so ist 
2^‘ = o\-\- (oj — 2y -p (oj — 4)* -j p (oj —{2n — 4))^ 
+ (a,-(2w-2))" 
und aus dieser Identität findet man 
8) 2’' — 2'^ = 1 ; mod. Oj für h = 0] mod. 2. 
Die beiden Kongruenzen 7) und 8) lassen sich zu 
9) 2^ — (— 1)^ 2^ = 1 ; mod. o, 
für jedes h zusammenfassen. 
Um noch eine weitere Beziehung abzuleiten, setzen wir 
2^ -f (2^' — 1) = P, 
wo P = (w -p 1)'^ -p • • • -p (2 ny ist. 
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