über die Potenzsummen der natürlichen Zahlen. 
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2"^ = ((4^ - 1)^ + 1^) + ((4 Ä — Sy + 3^0-1 
{2Ti -y ly y {21 — ly 
und die rechte Seite ist auch gleich 
((4Ä — ly + P) + ((4Ä; — ^y 
+ ((4 Ä: — (2 Ä; — 1)/' + (2 Ä: — I/O- 
Da jedes dieser h Paare wegen des ungeraden h den Fak- 
tor ih enthält, wird also 
2^' = 4 7v {(4 Ä: — 1)^-1 — (4 — 1)^-2 1 -j 1- 1} 
ih{{ik — 3/-' — (4 Z; — 3y'-2 3 H 3^-^ 
+ 4k{(ik — 5y-^—(4:Jc^by-^5-] 5^"’} 
+ 
+ 4^'{(4Z; — (2Z: — l))^-i — (4Z: — (2Z: - l)y^-2 (2 Z; — 1) 
.•.-h(2Z^-iy-^}. 
Führt man jede der hier auftretenden Potenzen nach dem 
binomischen Satze aus und beachtet, daß h — 1, h — 2, Ji — 3 
. . . abwechselnd gerade und ungerade sind, so entsteht bei 
ungeradem li und geradem n die Gleichung 
2^ — 4k {4k + Ä2i~', für Zi = 1, w = 0; mod. 2. 
Da nun nach der in diesem § bewiesenen Kongruenz 
(2*-i _ 
bereits den Faktor k enthält, so folgt 
(2'’“' — 1)2^' = 0; mod. für w = 0, A = 1 ; mod. 2 
und insbesondere, wenn h eine Primzahl 
III a) - — - — ^ 2* = 0 ; mod. n^. 
h 
2. Ist dagegen n eine ungerade Zahl 2Z;-f-l) so bleibt 
bei analoger Anordnung in Paare, wie bei 1), ein Mittelglied 
(2 Z: -j- ly übrig, während die übrigen sich zu Paaren zusammen- 
fügen lassen. Denn dem Glied (2 Z: -|- ly geht vorher (2Z; — ly, 
und es folgt (2Z:-f 3/'. Es ist aber 
2Z:-[- 3 = 4Z: + 2— (2Z: — 1). 
