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A. Voss 
Mau erhält also zunächst: 
2 ^': = ((4 Ä + 1") + 1 *) + ((4 Ä -1 y + 3") + . . • + ((4 Ä - (2 - 3)y 
+ (2^-iy) + (2Z: + l)" 
und kann die rechte Seite auch folgendermaßen schreiben: 
((4^ + 2 - ly + P) + ((4Ä: + 2 - 3y + 3'-) + • • • 
+ [((4Ä: + 2 - (27: - l)y + (2Ä - ly)] + (2 7: + ly. 
Demnach wird 
2’:: = 2-(2Ä + l){(47:+2-iy-'-(47:+2-iy-i + ... + l} 
+ 2(27: + l){(47: + 2-3y-'— (47: + 2 — 3y-'3+ ■•• + 3'-'} 
+ 2(27: + 1) {(4 7;: + 2 - (2 7: — l)y-i — (47: + 2 
- (27: - l)y-i (2^• _ 1) + . . . + (27: - ly-^} + (27. + ly 
oder 
2!: = 2 (2 + 1) (2 • (2 7: + 1) P + h 2^') + (2 Ä + ly. 
Multipliziert man jetzt mit 2*"^ — 1 und benutzt die in 
§ 3 nachgewiesene Kongruenz 
(2A-1 = 0; mod. 0 = 27: + !, 
so erhält man 
Illb) (2*~i — = 0; mod. n* für « = 1, 7« = 1; mod. 2, 
so daß nunmehr die Gleichung 
IV) (2'-’ — 1) 2-* = 0; mod. 
für jedes ungerade /i besteht. 
Die Kongruenzen Ib), II), IV) enthalten die sämtlichen 
Eigenschaften, welche am Eingänge dieses § von den Summen 2" 
behauptet sind, wenn man noch die aus § 3, I) und II) folgende 
(2* — 1)2''' = 0; mod. o für 7t = 0; mod. 2 
hinzu nimmt. 
Die unter 3 a) erwiesene Kongruenz läßt sich jetzt noch 
erweitern. Da nämlich 
