über die Potenzsummen der natürlichen Zahlen. 
181 
4 (2*“* — 1) Ä'* = 0; raod. für /i = 1 ; mod. 2 
(2*-* — 1)2''* = 0; mod. für A = 1 ; mod. 2 
ergibt sich für ungerades A 
(2Ä-1 _ 1) (2* 5''- + 2") = 0; mod. 
was nach den früher angeführten Beispielen (S. 176) zu ver- 
muten war. 
§ 8. ^ 
Die Summen ß* = ^ ( — 1)"+' /?*. 
1 ' 
Diese Summen besitzen weit einfachere Eigenschaften, wie 
die in den vorhergehenden §§ betrachteten S und 2. Setzt man 
1) ß;: = 1— 2'‘-l-3'‘ — 4*H h(—l)"(w — l )'■ + (—!)"+'< 
so erhält man sofort die folgende Identität 
2) (» + 1)* + (-!)"-■ = (- 1)-' |2 ij; + (*) fi;-' + ■ • . 
in der bei geradem n das Symbol üt, gleich Null, bei un- 
geradem n gleich Eins zu setzen ist. Die Gleichung 2) er- 
gibt sich, wenn man die Identitäten 
{n + 1)* -j- w* = 2 n* -f- ^ + • • • + ^ 2 j w -j- 1 
in geeigneter Weise für n = l, 2 .. .n durch Plus- und 
Minus-Zeichen vereinigt. Man erhält so 
bei ungeradem n 
I) (» + 1)* = 2 fil, + ('*) of,-‘ + ... + ('*) a;, 
und bei geradem n 
II) (» + 1)» - 1 = - 12 üi + (*) + . . . 4- (*) ß:j. 
Bei ungeradem n tritt also — wenigstens abgesehen 
von einem Divisor 2“ — in jedem ß" der Faktor n -f 1 auf, 
