über die Potenzsummen der natürlichen Zahlen. 
185 
Aber diese einfachen Mittel reichen nicht aus, um 
a) bei geradem h und geradem n die Kongruenz 
2 = 0 ; raod. n ; 
b) bei geradem h und ungeradem n die Kongruenz 
2ifn = 0; mod. w + 1 
nachzuweisen. 
Setzt man bei a) 
ß'- = 1 _ 2'- -f 3" H + (2 Ä: — l)" — (2 /.•>', 
so ist = 
S* = 2t + 2'■S^ 
Aus der Gleichung 
folgt 2 • (2'- — 1) + 2 (2'' — 1) = 4 l'k (2'‘ — 1) 
und hieraus ergibt sich nach der §7, Ib) bewiesenen Kon- 
gruenz (2^ — 1) 2"* = 0, mod. n fiii' Ji — 0] mod. 2, dah 
V) 2-(2'' — \)ü’^ = 0; mod. n für w = 0, h = 0; mod. 2 
sein muß. Der Faktor 2'- — 1 aber kann hier fortgelassen 
werden, da, wie eingangs dieses § bemerkt wurde, bei nur 
eine Potenz von 2 in Betracht kommen kann. 
Setzt man ähnlich bei b) w = 2 ä: -|- 1 , so ist 
= 1 — 2'' 4- 3* -j- — i- (2 ^ — ly* — (2^'y + (2^4- ly, 
also = ^k+i — 2'* Sk 
s';, = ik+i-\-2»Sk, 
oder -j- (S* = 2 Zk-^i . 
Hieraus folgt zunächst nach § 7, 5) bei ungeradem h, 
wo demnach Zk+i = 0; mod. /.; + 1 ist, die bereits vorhin er- 
wiesene Kongruenz 
2Ü^„ = 0\ mod. w -f- 1 für n= 1, h=l; mod. 2 
dagegen nach Multiplikation mit 2(2* — 1) bei geradem h 
