über die Potenzsummen der natürlichen Zahlen. 187 
1) 2*-‘ = - (zj'' -i- + . . . 4 - 4) für w = 0, 
/t = 0; mod, 2, 
• ^ 
2) 2"-' n’‘-l= At + J'r’ 4 - . . . + für w = l, 
7i = 0; inod. 2. 
3) 2'--! n" = - ( j:; + Air- + • • ■ + (t) für n=0, 
h= \ - mod. 2. 
4) 2*-' n’‘ = (4 + ( 2 ) + • • • + (t) ^») für n = 1, 
Ä = 1 ; mod. 2. 
Diese Gleichungen sind wieder einfacher wie die des § 8, 
weil das zl vom höchsten Index sich unmittelbar als ganz- 
zahliger Ausdruck der zl von niederem Index ergibt. 
Die Summen zl* stehen mit den Summen in einfacher 
Beziehung. Man hat nämlich für o = 2n 1 
2^^ ß!: = 2'^ — 4^^ + 6" (— 1)» (2 w — 2f + (— 1)"+' (2 w)'' 
= (o — (2 w — 1))" — (o - (2 w — 3))" H (- 1)" (ö — 3)* 
+ (- 1)”+» (a - If. 
Entwickelt man nach den Potenzen von 0 , so erhält man 
bei geradem n 
2'" ß;; = ö* 0 -h ( z/i - -2 zli -f . . . + (- 1)*( ö4~’ 
I) 4- (— l)'-k‘4; n = 0; mod. 2; 
bei ungeradem n 
2» Ql = . . . 4.(_iy-i(^^*jo4-> 
II) -j- ( — 1)" zl^l ; n = 1; mod. 2. 
Ferner findet man für öj = 2n — 1 aus 
4 = (ö,-2(w-l)y‘-(a,-2(n-2))* + ----(a,-2)'‘ + o^ 
