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A. Pringsheim 
sein raufi. Dabei ist diese Gleichung, falls der Kettenbruch 
überhaupt konvergiert, alleraal wirklich eine quadratische, 
d. h. es ist stets; Man hat nämlich für jedes 
p > 1 und /< > 1 : 
und daher: 
/‘P+e_ a,l 
1 ^ 
= ^ + 
I ~ 
^ \^P ^ ^ 
1 “ej 
+T+ 
Äo\ 
\B. 
( 3 ) 
{ -^it p-\-Q P l -^p p — 1 
Bit p -|" e — p p — 1 • 
Aus der zweiten dieser Formeln folgt für Q = i ) — 1 
(4) B(u^\)p—\ = Bp—\Bfip -(- Äp^i Bf,p — i 
und hieraus speziell für ^ = 1 : 
B-2p—\ — -Bp_i {Bp -j- Äp — }). 
Ist also: -Bp — 1 = 0, so hat man auch: B- 2 p-i = 0, folg- 
lich mit Benützung von (4) durch vollständige Induktion für 
jedes ju: Bf,p-i = 0. Hiernach besitzt aber im Falle .B^_i = 0 
der Kettenbruch unendlich viele sinnlose Näherungsbrüche 
und ist also divergent. Mithin ergibt sich: 
Die Bedingung: 
(A) |i?p_i|>0 
ist eine nohvendige für die Konvergenz des Ketten- 
bruches (1). 
Aus dieser Erkenntnis resultiert aber sofort eine ganze 
Folge von notwendigen Bedingungen für etwaige unbe- 
dingte Konvergenz des Kettenbruches. Soll nämlich der 
Kettenbruch (1) unbedingt konvergieren, so muß ja auch 
jeder der (gleichfalls rein periodischen) Kettenbrüche : 
/.+ ! 
(A = 1, 2, 3, . . .) 
konvergieren. Dabei genügt es offenbar w'egen der vor- 
