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A. Pringsheim 
Denn aus Gl. (I) folgt: 
(13) Ap — BpX = —x{Ap^x~- Bp-^x), 
so daß aus der Annahme: 
folgen würde: 
Ap—\ 
A„ 
Bp-ix = 0 
BpX = 0 
und daher: 
ApBp^i — Ap_iBp = (— 1)^-* • a, . . . «p = 0, 
was wieder wegen | j > 0, unmöglich ist, 
3. Um die Konvergenz des Kettenbruches, also die Existenz 
von lim oder, was auf dasselbe hinausläuft, eines von A 
V 00 
unabhängigen lim (^ = 0» E • • • (i* — 1) bei passender 
Hinzufügung weiterer Bedingungen feststellen zu können, ent- 
wickeln wir zunächst eine hierfür zweckmäßige Rekursions- 
formel. Aus (9) folgt, wenn A -f- p = v gesetzt wird : 
Ay By p Ap -f- Ay p Ap — } 
(14) 
By = By—pBp -f- Ay—pBp^l 
iy > p) 
und daher für jedes beliebige x: 
Ay By X By p (^Ap Bp X) “j“ Ay p (^Ap J Bp — 1 x '^ , 
also, wenn wieder x eine beliebige Wurzel der Gleichung (I) 
bedeutet, mit Benützung von Gl. (13): 
(15) Ay ByX (^Ap 1 Bp \ x') (^Ay p By^pX'), 
Setzt man hier v = A -)- /iip (wo: A = 0, 1, . . . (^ — 1); 
fl = 1, 2, 3, . . .), so ergibt sich die folgende für die weiteren 
Betrachtungen grundlegende Rekursionsformel: 
(11) 
Ai-^pp Bi^fipX 
(^Ap — I Bp _ 1 x') (^Ai -f. _ i)p Bl ^ ifi _ \)pX ') , 
welche zunächst durch vollständige Induktion bereits so viel 
erkennen läßt, daß im Falle Ai — B^x^O bzw. =0 für 
