über die Konvergenz periodischer Kettenbrüche etc. 
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d. h. wenn : 
(29) 
lim = 0 oder = oo , 
/<— ► OD 
\M' = 
Ap _ 1 Sp — 1 ^2 
Diese Bedingung ist also jedenfalls eine weitere not- 
wendige für die Konvergenz des Kettenbruches. Ist sie 
aber erfüllt, so läßt sie .sich sofort ohne jede weitere Be- 
schränkung der Allgemeinheit durch die scheinbar engere er- 
setzen : 
(CO 
M = < 1, 
— 1 -Op — 1 Xn ' 
da es freisteht, falls die Voraussetzung (29) erfüllt ist, unter 
ein für allemal diejenige Wurzel der Gleichung (I) zu ver- 
stehen, welche dann durch die Bedingung (CO eindeutig cha- 
rakterisiert ist. 
Es läßt sich nun zunächst zeigen, daß die soeben als not- 
wendig für die Konvergenz des Kettenbruches erkannte Be- 
dingung (29) bzw. (CO in Verbindung mit (A) und (B) bzw. 
(BO sich als hinreichend für die unbedingte Konvergenz 
erweist. Unter den genannten Bedingungen folgt nämlich zu- 
nächst aus Gl. (26): 
(30) lim = 0 für: .1 = 0,1, •••(i.-l), 
was wiederum nur möglich ist, wenn für hinlänglich große 
durchweg: ] + | > 0. Denn wäre = 0 für unend- 
lich viele X HP (wobei dann jedesmal: >0), so 
würde der in Gl. (30) auftretende Quotient unendlich oft den 
Wert 1 annehmen. In Folge dessen läßt sich aber die Gl. (30) 
durch die folgende ersetzen : 
(31) 
“I“ fl p 
•^X fl p ^2 
wo: lim gA,/^ = 0(A = 0,l,***(p— 1)) 
— ► 00 
SO daß sich ergibt : 
^x-\-fip{\ 9.x^ 
