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A. Pringsheiin 
und daher: 
(32) lim ß = 0, 1, ■ ■ • (j) — 1)), 
,a— ► 00 
d. h. schließlich : 
(33) 
Diese Konvergenz ist dann aber eine unbedingte, da 
ja auf Grund der Voraussetzung \ A), — BiX >0 für A = 0, 
1, •••(/) — 2), ebenso für l = (p — 1) und daher mit Benützung 
der Rekursionsformel (II) auch durchweg 
von Null verschieden, also für jedes n: 
Diese letzte Bemerkung führt unmittelbar zu der Er- 
kenntnis, daß die Konvergenz des Kettenbruches gegen den 
Wert x^ noch als eine bedingte — ganz analog, wie in 
dem zuvor betrachteten Falle D = 0 — erhalten bleibt, wenn 
für gewisse / = Z die Beziehung besteht : Äi — BiX^ = 0. 
Denn daraus folgt wieder auf Grund der Rekursionsformel (II), 
daß dann allgemein: Ai^up — Bi+f,pX^ = 0, also: Kt+up — x^ 
für: = 0, 1, 2, • • •, während für alle von l verschiedenen x 
die frühere Betrachtung gültig bleibt, sodaß also schließlich 
wieder: lim Ky — x^, die Konvergenz, wegen Kij^^p = a:,. 
jedoch nur eine bedingte ist. 
Bestehen dagegen für gewisse X — I in der Weise Aus- 
nahmen von den Bedingungen (B'), daß: Ai — BiX^ = 0, so 
besitzen alle Näherungsbrüche von der Form : Ar/^^/.p(/f = 0, 1,2, •••) 
den Wert x^ und konvergieren daher auch für /<-► oo gegen x^, 
während alle übrigen den Grenzwert x^ liefern. Der Ketten- 
bruch oszilliert also in diesem Falle zwischen den zwei Wer- 
ten x^ und X .2 (sogenannte Thielesche Oszillation). 
Die vorstehenden Ergebnisse lassen sich in folgender Weise 
zusammenfassen (wobei wir aus einem Grunde, der bald er- 
sichtlich wei'den Avird, von der Möglichkeit, statt der Bedin- 
gungen (B') die Bedingungen (B) einzuführen, vorläufig ab- 
sehen) : 
