über die Konvergenz periodischer Kettenbrüclie etc. 
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Ferner ist der fragliche Kettenbruch auch divergent, 
falls die Reihe X; ! ^1 konvergiert. Wenn nämlich der Ketten- 
bruch nicht schon durch das Vorkommen unendlich vieler 
sinnloser Näherungsbrüche divergent wird, so hat man 
dui'chweg: By\'>0 etwa für v ^ m, und daher für n^m: 
A, 
B, 
A„ 
B„ 
w-|~ 1 
1 
ByBy^\ 
(wegen: ÄyBy-i — Äy — iBy = ( — 1)’'“'). Für die Konver- 
genz des Kettenbruches, also für die Existenz eines endlichen 
lim 
n— ► 00 
4n 
B^ 
ist daher jedenfalls notwendig, daß: 
(7) 
lim BnBn-l = 00 . 
n — ► CO 
Da aber aus den Ungleichungen: 
; .Rj I = ; I < 1 “i" ! I 
! -®2 I ^ 1 ^2 I (1 + I ) (1 + I ^2 I ) 
mit Hilfe der Rekursionsformel für die By durch vollständige 
Induktion sich ergibt, daß allgemein: 
\B„\<n^{l-\-'iy\), 
1 
so folgt, daß die | | stets unter einer endlichen Schranke 
bleiben, wenn die Reihe Xj ! ^»’ I » also auch das unendliche Pro- 
dukt 77(1 + | ') konvergiert, somit die für die Konver- 
genz des Kettenbruches notwendige Bedingung (7) niemals 
erfüllt sein kann^). 
3. Die vorausgeschickt formulieren wir jetzt das zu be- 
weisende Konvergenz-Kriterium in folgender Weise: 
Sind die für die Konvergenz des Kettenbruches 
1 ” . . 
j ,wo: &v = a,,-{-/?vi,notwendigenBedingungen, 
_ l 
nämlich: 
b Dieses Divergenz-Kriterium rührt, soviel ich weiß, von Stolz 
her; Vorl. über allg. Arithmetik, Bd. 2 (1886), S. 279. 
