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A. Pringsheim*- 
^ 2 r + i 1 > 0 zum mindesten für einen Wert v = m, 
CD 
und: 
6^ I = 00 
erfüllt, so konvergiert der Kettenbruch, wenn 
die tty unter sich, ebenso die mit ( — 1)’’ multi- 
plizierten ßy unter sich, soweit sie von Null ver- 
schieden sind, gleiches Vorzeichen haben^). Die 
Konvergenz ist dann und nur dann eine unbe- 
dingte, wenn die Bedingung > 0 für unend- 
lich viele gerade, wie ungerade v erfüllt ist. 
Beweis. Infolge der vorausgesetzten Divergenz von 
muß mindestens eine der beiden Reihen civ!) S ßy\ diver- 
gieren. Wir dürfen aber, ohne die Allgemeinheit unseres Er- 
gebnisses zu beschränken , voraussetzen , daß gerade S “v | , 
d. h. die aus den Absolutwerten der reellen Teile der by ge- 
bildete Reihe divergiert. Denn wäre etwa nur XI ßy diver- 
gent, so steht es frei, an Stelle des vorgelegten Kettenbruches 
den mit ihm äquivalenten®): 
1 
— i 
in Betracht zu ziehen, bei dem ja nunmehr die reellen Teile 
der Nenner die verlangte Eigenschaft besitzen. Aus analogem 
Grunde darf man weiter annehmen, daß die nach Voraussetzung 
gleichbezeichneten Oy durchweg ^ 0 seien, da man ja andern- 
falls den vorgelegten Kettenbruch wiederum durch den äqui- 
valenten®): ^ ^ 
— ßyi_ 
Dabei kann immerhin das Vorzeichen von a„ und ( — iV ßy ver- 
schieden sein. 
Diese Äquivalenz folgt aus der allgemeinen Transformationsformel : 
wenn gesetzt wird: c„ = ( — iri. 
Dies folgt aus der Formel von Fußnote 2) für = — 1. 
