über die Konvergenz periodischer Kettenl)rüche etc. 
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Dagegen könnte sehr wohl ö„ = 0 und sogar lim — 0 
n-*- 00 
sein — letzteres nämlich dann, wenn für v'^2m durchweg; 
/?yxi = 0, was ja durch die Voraussetzung nicht ausgeschlossen 
ist. Abgesehen von die.sem besonderen Falle ist von einer ge- 
wissen Stelle ab o„ 1 wesentlich positiv und mit wachsen- 
dem w niemals abnehmend, also lim | ö„ endlich und von 
»—►CO 
Null verschieden oder unendlich. Um die Konvergenz der 
Reihe (13) festzustellen, hat man: 
(16) 
< 
1 
+ 
ßy+] 
F^r+i-Bv-i I 
und sodann (mit Benützung von (8) und (5)): 
(17) r; 
-p 1 
j 
< 
0.-4-I — Qv 
(wo: 
^V-\~\T^V l| I I j • [ .ß,, l| Py_|_l Pv lim l ® ) 
d. h. der Wert des ersten Gliedes auf der rechten Seite von 
Ungl. (16) ist höchstens so groß wie derjenige des allgemeinen 
Gliedes einer konvergenten Reihe. 
Sind nun von Null verschiedene ßv+i nur in end- 
licher Anzahl vorhanden, so übt das zweite Glied der rechten 
Seite von Ungl. (16) auf die Konvergenz der fraglichen Reihe 
überhaupt keinen Einfluß aus. Im entgegengesetzten Falle hat 
man, analog mit (17): 
ßvA-\ 
\ß 
\ Oy+l 
o,, 
^ I + ' I I rv + i I I -‘-’v I ^ 
_|_ 1 I 1 ^^y \ ' ^ J^y -By l' 
wo lim öy 1 endlich und von Null verschieden oder posi- 
V -4- 00 
tiv unendlich, also der Ausdruck rechts wieder das allge- 
meine Glied einer konvergenten Reihe vorstellt. 
Hiermit ist also die Konvergenz der Reihe (13) und 
somit die Existenz der beiden Grenzwerte lim ^ , 
lim erwiesen. Daß dieselben aber zusammenfallen, 
ergibt sich sofort mit Hilfe der Beziehung: 
