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H. Liebmann 
entstellt, die erste Randwertaufgabe gelöst werden, d. h. soll 
für das Innere dieses Gebietes diejenige Funktion bestimmt 
iverden, die die Gleichung 
( 1 ) 
JV = 
d^F 
9^2 
= 0 
erfüllt, und längs der freien Randteile 
/SI des Gesamtrandes S, = Si -R »Sl von Ä'j 
n n *52 = -j- 
einen vorgeschriebenen Wertverlauf /, (sl) bzw. /"j («2) hat, so 
wird man und selber als Grundgebiete wählen. 
H. A. Schwarz gibt dann das folgende Verfahren an: 
Man schreibt willkürlich noch für (SJ einen Wertverlauf 
(si) vor und löst dann die Randwertaufgabe für mit dem 
Randwertveilauf /', (sj), <7j (si). Die so berechnete Funktion F, 
hat auf Ä2 einen bestimmten Wertverlauf ($2). Dann löst 
man die Randwertaufgabe für mit dem Randwertverlauf 
^2(^2)- D*® gefundene Funktion F^ hat wieder auf 
dem in ihrem Innern gelegenen Stück Sj einen bestimmten 
Wertverlauf (sl). Man bestimmt dann Fj so, daß diese 
Funktion im Innern von die Gleichung ( 1 ) erfüllt und die 
Randwerte /j (sl), (sl) hat usw. In der unbegrenzten Folge 
dieses alternierenden verschmelzen die Funktionen F„ 
schließlich, d. h. sie nähern sich asymptotisch der gesuchten 
Funktion F. — 
Um sodann die Poincarösche Methode zu erläutern, be- 
trachten wir zunächst das Verfahren, wie es sich gestaltet, 
wenn die Randwertaufgabe für einen Kreis, dessen Inneres 
mit iC, , dessen Rand mit bezeichnet werden möge, gelöst 
werden soll. Es wird dabei angenommen, daß man eine Funk- 
tion Vg {x, y) kennt, die den vorgeschriebenen Randwertverlauf 
besitzt, im Innern aber noch nicht der Gleichung ( 1 ) genügt. 
Aus diesem Vg wird eine , Füllung“ des Kreisinnern konstruiert, 
d. h. es wird die Flächenbelegung mit der Dichtigkeit 
