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G. Faber 
III. Abschnitt. 
Ergänzungen, Beispiele, Anwendungen. 
§1. Eine merk würdige Funktionalgleichung. (p{x) 
00 00 ® 00 00 ^ 
= ^ v{x)x'’ dr X" , H){x)='^yhyX'’ = ^u{x)x'' dxX" 
0 0 J 0 0 J 
0 0 
00 
seien zwei Funktionen ,der 99-Klasse“. Dann ist auch a,,byX'' 
0 
eine Funktion der 99-Klasse, d. h. a^by läßt sich in der Form 
J'iF(t)t’’ (7 t darstellen und zwar ist IE(t) = J' T ^ ^ (7 t'. 
0 . r ' ' 
Man beweist dies folgermaßen: d sei eine Zahl >0, <1, 
dann ist 
1 
(29) 
r M ( t) t’’ (7 t = lim + — d) und 
J 5 = 11 
u 
1 ^ 
r v{x)x'' dx — lim S*" v{d’‘) d’'^’’+‘^(l — d); 
J 5 = 1 I 
indem man diese Gleichungen miteinander multipliziert und 
dann die rechte Seite nach Potenzen von d’’"*"' ordnet, er- 
hält man: 
1 1 ^ 
{u{x')x'' dx ' {v(x)x'’dx = lim S*“ db'+’>^ [M(d)t;(d’‘“^) 
(30) J J 
+ M(d«)t;(d’‘-2) H h w(d''-*)t^(^)] (1 — ^)"; 
auf der rechten Seite konvergiert (1 — d) [w(d) v(d’‘~‘) -f- 
f 
V' 
5’' 
und, wenn man noch d"" = t setzt, die ganze rechte Seite, wie 
1 
behauptet, gegen J* TE(t)t’’(7t, Mit l'T (r) ist auch die Sprung- 
