über das Verhalten analytischer Funktionen etc. 
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§3. Uber den Divergenzcharakter gewisser Potenz- 
reihen an der Konvergenzgrenze. Durch Vergleichen der 
Koeffizientenabschätzungen des ersten und der Funktionsab- 
schätzungen des zweiten Abschnitts gewinnt man von einer 
ganz neuen Seite her einen allgemeinen Satz, den zuerst Herr 
Pringsheim bewiesen hat (acta math. 26 (1903)). Die Potenz- 
00 
reihe für die Funktion (1 — xY(p{x) sei bei x=\ 
u 
divergent (also a<0); setzt man 
X == 1 — ß“' cosi/’ -|- iQ~^ sin xp 
V’ < 2 ’ 0 < ^ 2 cos , 
00 
so konvergiert ij»' hy x'’, und es ist nach (33), (28) für a <C 0 
0 
und nach (27) für a = 0: 
(37) S- = xY T (1 + 
mit lim = 0 gleichmäßig für die obigen x-, andererseits 
ß =00 
ist nach (34) 
(38) (1 + £v) für a < 0 
und nach (35): 
(39) h? = ^ (1 -h ey). 
V 
Die Abschätzung (37) bleibt offenbar richtig, wenn man 
für by aus (38), (39) die Näherungswerte ^ 1 1 
einsetzt; tut man dies, so hat man den erwähnten Prings- 
heim sehen Satz über das Verhalten der Reihen 
^’'(« < 0) und £]’• —a;” bei x = \. 
