Partielle Differentialgleichungen erster Ordnung etc. 297 
Damit haben wir den Satz gewonnen: 
Damit die Gleichungen (4) bis (7) einep. Dg. l.O.im Rn-^m+\ 
ergehen, deren Ch. einzig und allein die durch (5) gegebenen 
Geraden sind, ist notwendig, daß die m • n Gleichungen 
(17) = 0 
bestehen. 
Im übrigen sei nochmals die Nebenforderung hervorgehoben, 
dah die durch (8) definierte Determinante (D) von Null ver- 
schieden sein muß; dies war ja die notwendige und hinreichende 
Bedingung dafür, daß die Gleichungen (4) bis (7) überhaupt 
auf eine p. Dg. 1. 0. führen. 
Wir haben nunmehr noch nachzu weisen, daß die m-n 
Bedingungen — unter der selbstverständlichen Voraussetzung 
0 , 
wie kaum mehr hervorgehoben zu werden braucht — auch 
hinreichend sind. 
Wenn man zunächst annimmt, daß die 
ri . . . r; , sl . . . 
nicht alle Null sind, also auch die {Frf und (6r,«)' nicht alle 
gleich Null, so ergibt jetzt die oben ausgeführte Multiplikation 
und Addition statt (15) die n Gleichungen 
(15') £<• r; 0,, + (F.y + YXO,)' ^ = 0 • • • (v = 1, . . . M). 
I 1 9 Pr 
Wenn dann alle gleich Null sind, so hat man zur 
Bestimmung von r[ . . . r'„, s[ . . . s'm neben den Gleichungen 
1 
dVr ^ dSi d Sa 
sj* = 0 • • • (i = 1, • • • m). 
die aus (4), (5) und (10) folgen, noch 
(15'0 
9 Pr 
= 0 • • • r = (1 • • • w). 
20 ’ 
