A. Loeicy: Ueber Differentialgleichungen. 
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man eine homogene Relation mit constanten Coefficienten 
zwischen einem Fundamentalsystem von Integralen von (D); 
dies ist aber unmöglich. Hiermit ist der Hülfssatz erwiesen. 
Angenommen die Gleichung D — 0 besitze ein dem 
Rationalitätsbereiche angehöriges Integral, so ist dieses eine 
lineare Function der Yik und bleibt bei allen Transformationen 
der Rationalitätsgrujjpe von ~ ^ formal ungeändert. 
Die lineare Function der F,i- ist aber eine quadratische Func- 
tion der die bei allen Transformationen der Rationalitäts- 
gruppe von D = 0 ungeändert bleibt, die quadratische Form 
der yi yk kann hierbei eine verschwindende oder nicht ver- 
schwindende Determinante haben. Ist = 0 irreducibel, so 
muss die Determinante von Null verschieden sein. Verschwindet 
aber die Determinante der quadratischen Form*, so kann man 
nach den Resultaten von Herrn Fano^) wenigstens sagen, dass eine 
Differentialgleichung niedrigerer Ordnung, deren Coefficienten 
dem Rationalitätsbereiche angehören und deren Integrale D = 0 
genügen, mit der zu H = 0 adjungirten Differentialgleichung 
von derselben Art ist. Mithin erhalten wir den Satz: 
I. Besitzt die Differentialgleichung — i) ein dem 
Rationalitätsbereiche angehöriges Integral, so bleibt bei sämmt- 
lichen Transformationen der Rationalitätsgru 2 )pe von D = i) 
eine quadratische Form invariant, und es gehört entweder 
D — 0 oder eine Differentialgleichung, deren sämmtliche In- 
tegrale D — 0 befriedigen und die Coefficienten aus dem Ra- 
tionalitätsbereiche hat, mit der adjungirten Differentialgleichung 
von D — 0 zu derselben Art. 
Existirt umgekehrt eine quadratische Form, die bei allen 
Transformationen der Rationalitätsgruppe von D = 0 formal 
ungeändert bleibt, so ist diese rational bekannt und ferner 
auch Integral von ^ Mithin folgt : 
H. Lassen alle Transformationen der Rationalitätsgruppe 
von D = 0 eine quadratische Form invariant, so hat 
ein dem Rationalitätsbereiche angfehöriges Integral. 
o o o 
q G. Fano, Math. Annalen, Bd. 53, p. 572. 
