A. Locioy: lieber Bifferenlialeßeichungen. 
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§ 2 . 
Für das Folgende setze ich voraus, dass die vorgelegte 
Differentialgleichung (D) ein derartiges Fundanientalsjstem 
y, , 2 /, , . . . von Integralen besitzt, dass zwischen den ge- 
wählten Elementen y^, ■ ■ ■ yn keine homogene quadratische 
Relation mit constanten Coefficienten stattfindet. Wir be- 
trachten die n ( — ^ — j Producte yiykih /c = 1, 2, . . . w), die 
wir mit Y, 7 < bezeichnen; erfahren die iji eine lineare homogene 
Substitution P, so transformiren sich auch die Yn, linear; diese 
Substitution der E/j, soll anlehnend an Herrn Ad. Hurwitz^) 
die zweite Potenz- oder Quadrattransformation von P genannt 
und mit 11, F bezeichnet werden. 
. fn-Fl 
Unter der gemachten Annahme genügen die n ( — - — 
Producte E,& einer linearen homogenen Differentialgleichung 
genau von der n ^ ^ ^ Ordnung; die Differentialgleichung 
hat Coefficienten aus dem Rationalitätsbereiche, und die Grössen 
Yik bilden ein Fundamentalsystem der Differentialgleichung. 
Die Differentialgleichung wird erhalten, indem man die aus 
E, Ejj, Ej 2 . . . E„„ und deren Abgeleiteten bis zur Ordnung 
' n 
2 
min ante der n 
gebildete Determinante durch die Wronskische Deter- 
w -f E 
2 
Grössen Ej,, Ej 2 
Y„n dividirt und 
Null setzt. Aus dem bekannten AppelTschen Satze (Annales de 
l’ecole normale, II, Bd. 10, p. 400) ergiebt sich nämlich, dass 
Bereiche, der F{x) und daher auch die Ableitungen von T'{x] ent- 
hält, ungcändert. Adjungirt inan y^yi — '/al/l, das abgesehen von einer 
1 
Constanten bei Herrn L. den Werth hat, dem Rationalitäts- 
d-.’) 
bereiche, so hat die Differentialgleichung des elliptischen Cylinders mit 
einer linearen homogenen Differentialgleichung erster Ordnung mit Coef- 
1 
ficienten aus dem durch 77 - erweiterten Bereiche Integi-ale gemein. 
Vz (1-d 
0 A. Hurwitz, Zur Invariantentheorie. Math. Annalen, Bd. 45, p. 390. 
