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Sitzung der math.-phys. Classe vom 4. Januar 1002. 
V. Die mio associirte DilFerentialgleicliung einer Dilferential- 
gleicliung 2 mter Ordnung, die mit ihrer adjungirten zu der- 
selben Art gehört, wird nach Adjunction einer Quadratwurzel 
zum Rationalitätsbereiche reducibel. 
Dieser Satz ist auch von Herrn Richard Fuchs') gefunden 
worden; jedoch fehlt bei ihm die Bemerkung, dass die Ad- 
junction einer Quadratwurzel zum Rationalitätsbereiche unter 
Umständen nötig werden kann, damit die DifFerentialwleichun" 
reducibel wird. 
Die vorstehenden Betrachtungen lassen sich auch auf 
Differentialgleichungen zweiter Ordnung anwenden. In diesem 
Falle 71 — 2, 7)i = 1 fällt die Differentialgleichung mit ihrer 
associirten zusammen. Wir finden also : Jede lineare homogene 
Differentialgleichung zweiter Ordnung, die mit ihrer adjungirten 
zu derselben Art gehört, ist nach Adjunction einer Quadrat- 
wurzel zum Rationalitätsbereich reducibel, so dass sie durch 
die Integrale einer linearen homogenen Differentialgleichung 
erster Ordnung befriedigt wird.'^) 
*) Richard Fuchs, Ueber lineare Ditferentialgleichungen. welche mit 
ihrer Adjungirten zu derselben Aid gehören. Journ. f. d. r. u. ang. 
Math. Bd. 121, p. 205. Die Gleichung (5) des § 2 der Arbeit von Herrn 
R. Fuchs zeigt übrigens, dass eine Adjunction nothwendig werden kann. 
Die Bemerkung .Der auf der linken Seite auftretende Factor ~ beeinflusst, 
wie leicht zu sehen, diesen Schluss nicht“ (p. 207, Anmerkung) trifft 
also nicht zu. Vgl. auch L. Fuchs, Sitzungsber. der Berliner Akademie 
(1899), p. 190. 
-) Dass die Adjunction einer Quadratwurzel nothwendig werden 
kann, um die Differentialgleichung zweiter Ordnung, die mit ihrer ad- 
jungirten zu derselben Art gehört, reducibel zu machen, ergiebt sich 
auch aus Herrn Lindemann's Untersuchungen „Ueber die Differential- 
gleichungen der Functionen des elliptischen Cjlinders“ (ifath. Annalen, 
Bd. 22). Herr Lindemann untersucht dort unter 5) Differentialgleichungen 
zweiter Ordnung, die, wie man nach den Resultaten des folgenden 
Paragraphen sagen kann, falls eine gewisse transcendente Function 
Fix) als rational bekannt angesehen wird, mit ihren adjungirten 
zu derselben Art gehören. Ist F {x) bekannt, — ich wende dieselben 
Bezeichnungen wie Herr Lindemann an — , so bleibt die quadratische 
Form yi y^ bei den Transformationen der Rationalitätsgruppe in dem 
