Ä. Loeivy: lieber Dilfere>itialgleichungen. 
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falls /ij , /bj, . . . k,n irgend m geordnete von m 4* 1 , + 2, . . . 2 nt 
verschiedene Zahlen der Reihe 1, 2, . . . 2m darstellen; hin- 
gegen wäre s, 2 . . . m w+i . . . 2 m von Null verschieden. Betrachtet 
man die m Determinanten : 
^12 . . 
. m I m -p 2 m -}- 3 
2 m 
= 0 
Si2 . 
. . »n 1 w -r 1 + 3 
2 m 
= 0 
Si2 . . 
, . m 1 m -p 1 m -{- 2 m -p 4 . . . 
2 m 
= 0 
Sl2 . , 
. . m I m -p 1 m -p 2 2 m 
- 1 
= 0 
und entwickelt sie nach den Elementen der ersten Colonne, so 
folgt, da m+i . .. 2 m Und mithin auch die aus den Unter- 
determinanten von 5j2...m m+i ... 2 m gebildete Determinante von 
Null verschieden ist, dass; 
— ^21 . . - — ^m 1 — H 
wird. Analog braucht man nur für die m letzten Zeilen das 
Verschwinden von Sm+ii, Sm 4 - 2 ] , • • • Somi zu zeigen. Dann 
wird gegen die Voraussetzung die Determinante von q> Null: 
mithin sind und Q wesentlich verschieden. 
Wir haben also den Satz: 
IV. Die Rationalitätsgruppe der mten associirten Dilferen- 
tialgleichung einer Differentialgleichung der 2 m ten Ordnung, 
die mit ihrer adjungirten zu derselben Art gehört, führt nach 
Adjunction einer Quadratwurzel eine Schaar bilinearer Formen 
cogredient in sich über. 
Eine jede Schaar bilinearer Formen enthält auch eine 
bilineare Form von verschwindender Determinante; wird aber 
eine bilineare Form verschwindender Determinante cogredient 
in sich transformirt, so ist die Grupije der überführenden 
Substitutionen stets auf Substitutionen mit einer geringeren 
Variablenzahl reducibel. Wendet man daher das Criterium 
von Herrn Beke^) für die Irreducibilität einer linearen homo- 
genen Differentialgleichung an, so ergiebt sich: 
*) Beke, Die Irreducibilität der linearen homogenen Differential- 
gleichungen. Math. Annalen, Bd. 45, p. 28t); vgl. auch L. Schlesinger, 
Handbuch, II 1, p. 106. 
