94 
Sitzung der math.-jyhgs. Classe vom 1. März 1903. 
1 1 . Die Integrabilität des Produktes f (x) • y {x) im nem- 
liclien Intervall ist für das Folofende ebenfalls notb wendig, sie 
ergibt sich aber, wie man weiss. aus den gemachten Voraus- 
Setzungen bereits als nothwendige Folge. 
12. Zunächst seien / (x) und g {x) nicht nur monoton, 
sondern — um beim ersten Beweisschritt unseres bevorstehen- 
den Satzes nicht gleich eine Menge verschiedener parallel 
laufender Fälle zu gleicher Zeit im Auge behalten zu müssen, — 
auch isoton, und zwar niemals abnehmend, dazu im ganzen 
Intervall positiv. Schliesslich sei auch der Fall eines völligen 
Gleichbleibens im ganzen Intervall für beide Funktionen vor- 
läufig ausgeschlossen. 
O O 
Dann ist 
I) f{x)dx<f{h)S dx 
a a a 
oder — es ist ja h — a positiv (s. 10) — 
II) </(/,). 
(7 fl 
13. Es ist also 
jl-lax)dx=.u 
ein mittlerer "Werth zwischen f (fl) und f (li) und es lässt sich 
auf alle Fälle ein zwischen a und h liegender Werth x,„ be- 
stimmen. für welchen gilt: 
III) f{x,n-e)<U^fix,ni-S) 
wobei 
0 < f < x„, — fl ; 0 < d < /.) — x,„ 
ist und die beiden Gleichheitszeichen in III) nach Absatz 12 
nicht gleichzeitig für alle zugelassenen Werthe von e und ö 
o o o 
gelten können. 
14. Ob dabei fm mit f{x„^ zusammenfällt, bleibt unent- 
schieden ; die Voraussetzungen über die F unktion sind der- 
artige. dass auch ein Unstetigkeifssi)rung der Funktion l)ei 
