H. Brunn: Neue Mittehverthssätze über bestimmte Integrale. öa 
I X = x,n zulässig ist, der sie von einem Wertlie unterhalb f,» 
I nach einem solchen oberhalb fortreisst.') 
j 15. In Worten; Es existirt sicher eine Theilung des Inter- 
valls von der Art, dass die zum einen Theil gehörigen x-Werthe 
j die Funktion sämmtlich 'C/,», die zum andern Theil gehörigen 
siimmtlich sie ^ /„, machen. 
16. Dann gilt weiter: 
IV) 
S fix) (j {x) dx^S ■ d (^) • ^ 
a ft 
(= nur, wenn f{x) von a bis x,n constant = ist) 
h h 
j‘ f(x) (jix)dx^^ /■„, • (j ix)-dx 
(= nur, wenn fix) von x,,, bis h constant — ist) 
oder — indem man die beiden vorstehenden Ungleichungen 
leicht umformt und neue wichtige daran kettet: 
"m 
0 ^ J* (/ni — f (^)) U i^) dx^ Q ix„i)^ if n / (^)) dx 
V“) 
und 
V'-) 
<(jM 
fmix,n—a)—jfix)dc 
ft 
0 < J ifi^)- Ui)!lix)dx^(jix,n)S (fix)—fm) dx 
r- b 
>gix,n) 
J fix)dx — f„,ih—x,n) 
Ü 
Die zweiten Gleichheitszeichen in Va) resp. Vi,) gelten 
nur, wenn g (x) von a bis x,,,, resp. von Xm bis h constant 
gleich gix,n) ist oder wenn — fix) im ganzen Intervall von 
a bis Xm, resp. von x,,, bis h gleich Null ist. 
Möglicherweise existiren mehrere Werthe für sind und 
a:", zwei davon, so ist sicher /" = f(x“m) = f,,, '^nd auch = f,,, für 
jeden beliebigen Werth = .a:“', der zwischen .'c'jj und a:", liegt. 
