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Sitzung der inath.-jdiys. Classe vom 1. März 1902. 
17. Hier ist eine Erläuterung der Bedeutung von (/ (x,„) 
erforderlich. Sobald g (a;) bei keine Unstetigkeit erleidet, 
ist ein Zweifel darüber, was für g {x,») zu setzen ist, aus- 
geschlossen. Sobald g (a;) aber dort einen Sprung macht von 
g{x) = a bis g(x) = ß, so kann für g {x,„) jeder Werth 
zwischen a und ß mit Einschluss dieser Grenzen gesetzt wer- 
den, und man kann auch, um die Ungleichungen möglichst 
stringent zu machen, in Ya) einen möglichst kleinen Werth, 
also u, in Yb) einen möglichst grossen, also ß für g (a;,,,) einsetzen. 
18. Wir kehren zur Entwickelung unseres Satzes zurück. 
Die beiden eckigen Klammern in Ya) und Y),) erweisen sich 
als gleich, wie man durch Subtraktion ersieht: 
fm {x„, — u) — S f{x) ^ — J /’(^) äx-\- f,n {]> — x„) 
YI) 
h 
= fm iji — o) — ^ fix) dx = 0 (nach 13). 
a 
Wenn also der mit g (x„,) multiplicirte lYerth der eckigen 
Klammern mit F bezeichnet wird, so ist 
Yll) 
J {fm — f {x))g {x)dx < (f (x) - /;„) g {x) d x 
a 
^in b 
Sffm — f (a:)) g {x)dx<S {f (^) — U) !f {x) d x , 
wo das Gleichheitszeichen nur gelten könnte, wenn g (x) im 
ganzen Intervall, mit Ausnahme etwa der Grenzen a und h 
selbst, constant gleich g (x,„) wäre, was wir ausgeschlossen 
haben (s. 12). 
Durch andere Yertheilung und Wiederzusammenfassung 
der Theilintegrale auf die Seiten der Ungleichung ergibt sich 
hieraus: 
h b 
fm J !J (x) dx<jf (x) g (a;) d x oder 
a a 
J f (x) (J {x) dx> J* f {x) dx-S g (j:) d x . 
Ylll) 
