H. Brunn: Neue Mittelwerthssätze über bestimmte Integrale. 97 
19. Wir wollen nun den Satz von allerhand Beschrän- 
kungen befreien, welche ihm vorläufig noch anhaften. 
Aus der erhaltenen Ungleichung ergibt sich auch die 
Richtigkeit der folgenden, in der Ti, l beliebige constante 
Grössen sind: 
o a 
und umgekehrt, aus dem Bestehen der letzteren für irgend 
zwei Werthe Ti, l folgt VIII). 
Denn durch Ausführung der Multiplikationen und Inte- 
grationen ergibt sich für IX) eine Form, die sich von VIII) 
nur durch die Ilinzufügung gleicher Glieder 
h h 
X) l ^ f(x) dx Ti ^ g (x)dx Tel (h — a) 
rechts und links vom Ungleichheitszeichen unterscheidet. 
20. Sind nun f(x), g (x) irgend zwei im Intervall a bis 
nirgends fallende endliche eindeutige Funktionen, deren Vor- 
zeichen nicht oder nicht überall im Intervall positiv ist, 
so lassen sich doch stets endliche Constante Ti, l angeben, 
welche f{x) Ti und g (x) -\- T zu nirgends fallenden, im Inter- 
vall stets positiven Funktionen machen, für welche IX) Geltung 
hat. Dann gilt aber, wie eben ausgesprochen, auch VIII). 
Also die das Vorzeichen von f{x) und g (x) beschränkende 
j Bedingung aus Abs. 12 können wir fallen lassen. 
21. Ferner: Sind fix), g {x) zwei im Intervall niemals 
,1 steigende, so sind — fix), — g ix) zwei im Intervall niemals 
i fallende Funktionen, für welche gilt: 
a a a 
> XI) 
somit gilt auch 
h i 6 
JV’(^) 9ix)dx> , JY ix) dx- S 9 (^) ^ ^ 
a ” a a 
1902. Sitziingsb. d. math.-pljya. CI. 
