II. Brunn: Neue Slittelwerthssätze über bestimmte Integrale. 99 
i 
XV) 
sgn qS f (x) <! (x) (lx> / f (x) (1 X J g (x) d x 
h " I, Ij 
oder 
sgn qj f{x)g{x)dx> ~ sgn q j Sf{x)dx^g{x) dx. 
\) (X . 
[ Die beiden für die entgegengesetzten Annahmen h'> a und 
I h a geltenden Formen der Ungleichung können wieder in 
I eine zusammengefasst werden, indem man in XIV) links wie 
;! rechts noch den Factor sgn (/> — a) hinzufügt. 
I 25. Setzt man schliesslich zur Abkürziniff das Produkt 
O 
XVI) [f(h) - /■(«)] [,J (h) ~ g (a)l [i, - „1 = ,,, 
so koninit als emlgiltige Form des Satzes: 
XVII) sgni) J f{x)gix) dx> Y—nSf (^) <J ^ x. 
der nun für beliebige endliche, eindeutige monotone Funktionen 
/ (^)> d (^) und beliebige endliche Grenzen «, h gilt mit Aus- 
I nähme des Falles a = h, bei dem die beiden Seiten der Un- 
I gleichung als verschwindend und so einander gleichwerdend zu 
I betrachten sind, und des Falles, wo eine der Fuiiktionen /", g 
\ oder auch beide im ganzen Intervall constant sind und wo 
i ebenfalls Gleichheit eintritt. 
26. Eine Vervollständigung des Satzes kann gewonnen 
werden, indem man der einen Funktion, etwa f {x), die Funk- 
tion f {a h ~ x) an die Seite stellt, welche im Intervall von 
« bis h die nemlichen Werthe wie jene, aber in umgekehi-ter 
Reihenfolge annimmt, somit ebenfalls endlich, eindeutig und 
monoton ist, und der Ungleichung 
b . ' b h 
XVIII) sgn2)'^f(a-\-b—x)g{x)dx>g°^~jf(a-\-h—x) dxjg(x)dx 
Genüge thut. 
Aber es ist, wie die Substitution x = a h — y sofort 
erweist 
