H. Brunn: Neue Mittelwerthssätze über heslimmte Integrale. 103 
gemachten und nun gemäss 31. auf h(x) und ni{x) zu über- 
tragenden, so dass nun also f (x), m(x) und h{x)-m{x) 
monoton sein müssen. Diese Einschränkungen bilden die 
Schwäche von XXX). 
33. Unser erster Versuch der Vervollständigung unserer 
Formel ist daher nur theilweise gelungen und lässt den Wunsch 
rege, eine bessere Ergänzung ausfindig zu machen. 
34. Man könnte auf den Gedanken kommen, Ungleich- 
ungen wie 
r f {xY + ry ixY ^ ^ 
J ^ a 
a 
J ^ /fa) dx> S fix) (j ix) d X, 
a 
welche zunächst für positive fix)., d gelten, zu diesem 
Zwecke heranzuziehen, aber dergleichen würde wenig Verdienst 
haben, denn diese neuherangezogenen Ungleichungen gelten 
schon für die Differentiale, stellen also keine den Integralen 
eigenthümlichen Sätze vor, sondern sind einfache Integrationen 
bekannter Sätze über integralfreie Funktionen. 
Das Gute an unserer Ungleichung XXII) ist eben, dass 
sie nicht für die Differentiale gilt, sondern den Integralen 
eigenthümlich ist. Werthvoll wird also die Vervollständigung 
nur sein, wenn sie gleichen Charakter hat. 
III. Capitel. 
35. Die im I. Capitel angestellten Betrachtungen sind 
einer Verallgemeinerung fähig. 
36. Es seien f ix) und F ix) für ein von a bis h laufendes x 
endliche, eindeutige monotone und zwar zunächst nie abneh- 
mende Funktionen, und es sei 
h b 
XXXII) J fix) dx = ^ Fix)dx, dabei h > a. 
XXXI) 
