U. Brunn: Neue Mittehcerthsmtze über bestimmte Integrale. 105 
wobei rechts und links unter dem Integralzeichen positive, 
höchstens zu Null werdende Funktionen (in den eckigen Klam- 
mei'n) stehen. 
Weiter gilt: 
/ {fix) - Fix)-] gix)-dx<g (^) / [fix) - Fix)] dx 
XXXV) “ ^ j “ 
= i/ (^) J [F (f) — f (^)] dx<^{F ix) — fix)] g ix) dx. 
s s 
42. Das erste Gleichheitszeichen gilt nur für den Fall, 
dass g ix) im Intervall von a bis ^ constant gleich g (|), das 
zweite nur, wenn es im Intervall von | bis h constant gleich 
I ist- 
43. Bezüglich der Bedeutung von g (|) vergleiche man 
die Bemerkungen unter 17. Wird, um die Ungleichungen 
stringenter zu machen, die gelegentlich sich bietende Möglich- 
keit, für g (I) zwei verschiedene Werthe zu setzen, ergriffen, 
so ist in der letzten Formel das mittlere Gleichheitszeichen 
durch < zu ersetzen. 
44. Durch Subtraktion des ersten Gliedes folgt aus unserer 
Ungleichung — nach Weglassung der beiden Mittelglieder — 
h I 
0 S J [F’(^) - fix)] gix)dx — ^ [fix) — F ix)] gix)dx 
c a 
b b 
XXXVI) 0 < ^ Fix) g ix) d X — j f ix) g ix) d x oder 
a a 
h b 
j* Fix)g ix) d xP" j fix) g ix) d x. 
a a 
Das Gleichheitszeichen kann nur gelten, wenn g ix) im 
ganzen Intervall von a bis 1) constant gleich | ist. 
45. Bei Umkehr der Grenzen dreht sich das Ungleich- 
heitszeichen um; beide Formen der Ungleichung sind zusam- 
mengefasst unter 
6 b 
XXXVII) sgn (5 — a) J Fix) g ix) dx ^ sgn (& — a) J fix)gix) dx. 
