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Sitzung der matli.-phys. Classe vom 1. März 1902. 
52. Dass stets ein ^ zwischen a und h vorhanden ist, welches 
unseren Anfordei'ungen genügt, ergibt sich leicht. Denn für 
eine monotone Funktion f{x), a<b, f(a)<f(h) gilt offenbar: 
b 
XLIII) f{a){h-a)<jf(x)dx<f (h) (1,—a) 
a 
allgemeiner, wenn man 
XLIV) sgn {[/'(5) — /"(o)] [5 — n]} = sgn q setzt: 
h 
sgn 2 '. f{a) (5 - ö) < sgn q- J /"(a:) f7a: < sgn qf{h) {h — a) 
a 
b 
d. h. §f(x) (Ix liegt unter allen Umständen zwischen f(a){b — o) 
a 
und — a), sofern nicht in Folge von oder 
a = h alle drei Glieder gleiche Werthe bekommen. 
53. Das Integral lässt sich daher — auch im Fall des 
erwähnten Gleich werdens — stets mittels positiver echter 
Brüche x und /., deren Summe gleich 1 ist, auf die Form 
bringen 
XLV) fix) dx=^ /•(«) (5 - fl) . / + fih) ih 
a 
iX-\-X = 1 ) 
oder mit Zuhilfenahme eines zwischen a und h liegenden 
AVerthes f, der 
f — fl = (5 — fl) X , h — f = (7> — fl) X 
macht, auf die Form: 
XLVI) ,/= J f(,x) dx = - o) + /’('') (* - « 
Aus XLVI) folgt 
XLYID 
^ = 
\fiV)h- fia)d\ — J 
/•(5) — /'(ö) 
als vollständig bekannter AA erth, wenn J=^^fix)dx be- 
kannt ist. 
