H. Brunn: Neue Mittelwerthssätze über bestimmte Integrale. Hl 
54. Offenbar befriedigt das System der beiden geraden 
Strecken 
F{x) = f(a) = y, {a£x<i) 
XLVIII) (f S a: < 4) 
vollkommen die an eine Funktion F (x‘) zu stellenden An- 
forderungen. 
Es Q-ilt daher 
ü ü 
sgii P J / C*^') f/ (^') ^ f ■! (■*) ^ 
IL) 
u 
> sgn vSf {F) 9 {F) d . 
oder schliesslich, wenn alle nun erwiesenen Ungleichungen und 
eine letzte leicht zu erweisende, hinten sich anschliessende in 
eine Reihe gestellt werden; 
sgn p 
/■(«,) §y{x)dx-{-f(h)^(j{x)dx >^^npUiF) 9 {F)äx 
L) > y ” 7 - J f (^') j“ 9 (^0 sg« P J “ ■*') d 
' () Ci '• 
> Sgn p 
a + h-S 
fQ>) / 9 (■*■) + /■(«)! 9,{F) d X 
a 
wobei also f{x), 9 (x) eindeutig, endlich und monoton im 
Intervall ci bis h sind, und 
p = lf{h) - fia)} [g {h) — g (a)] [/> - «] 
h " 
J f{x) dx- {f\h) h-f{a) a] f{h) (h - a) - J f{x) d : 
~nh)-f{a) 
— a 
fÜ») — /'(«) 
zu setzen ist. 
55. Schlussbemerkungen. Wenn F, f und g „Stufen- 
funktionen“ werden (in der Art, wie F in 51. eine „zwei- 
stufige“ Funktion wmrde), so verwandeln sich unsere Ungleich- 
