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Sitzung der math.-phys. Classe vom 1 . März 1903. 
n — 1 
ungen XLII) in die integralfreie Form: sgn p Fi • g, A Xi 
H — 1 0 
sgn p fi gi A Xi etc./) für den Fall constanter A Xi in: 
0 
sgn q y Fi gi ^ sgn g 2’ fi gi etc.'») (2 F, = 2 ; die Fi und fi 
monotone Grössenreihen, die Reihe -F, — fi nur einen Zeichen- 
wechsel enthaltend etc.). Diese Summenformel entsteht hier 
sozusagen als die Tochter der Integralformel; sie lässt sich 
aber auch ohne den Umweg übers Integral beweisen und tritt 
dann als Schwester ihr zur Seite; ja man könnte sie sogar 
als die Mutter der Integralformel betrachten. (Vgl. A. Prings- 
heim in diesen Berichten Bd. 30, S. 212.) Unser Beweis in 
52. bleibt — was eine Art Güteprobe für ihn darstellt, — auch 
für die Summenformel anwendbar, wenn in ihm ebenfalls alles 
integralische ins summarische verwandelt wird. 
56. Da die am häufigsten vorkommenden Funktionen sich 
in Intervalle monotonen Charakters zerlegen lassen, so werden 
mannichfaltige Anwendungen unsrer Sätze sich ergeben. Eine 
Menge auch von integralfreien Ungleichheiten zwischen be- 
kannteren Funktionen werden sich mit Leichtigkeit ableiten 
lassen, welche auf anderem Wege kaum immer so rasch und 
bequem gefunden werden. Man kann die Factoren f (x), g {x) 
einander gleich oder gleich Potenzen der nemlichen Function 
setzen, es lassen sich gewisse Resultate auf Produkte von mehr 
als zwei Faktoren verallgemeinern, und durch wiederholte An- 
h 
Wendung der Sätze Xäherungsformeln für J fiF)g{x) d x geben 
a 
mit Hilfe von Integralen über die einzelnen Faktoren etc. Die 
Bedinofune: der Endlichkeit der Funktionen wird bis zu einem 
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gewissen Grade fallen gelassen werden können. 
') Unter a-Q, ... Xn sind verstanden die der Grösse nach in eine 
Reihe geordneten drei Reihen von Stufenendenabscissen i'i ... 'F.; 
9‘o- Vi ■ ■ ■ 9',“: J’Oi y\ ■ • • 7'’ ^011 F, f, g resp. und zwar in steigender 
oder fallender Anordnung, je nachdem .Tq ^ a kleiner oder grösser als 
.r« ~ h ist. 
2) Ueber q vergl. 23. 
