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H. Liebnmnn 
3. Man kann noch eine Folgerung ziehen, ^venn man sich 
an den bekannten Zusammenhang erinnert, der eine Beziehung 
zwischen einer infinitesimalen Verbiegung und einem (endlich 
verschiedenen) isometrischen Flächenpaar herstellt. 
Es stellen nämlich wegen 
2" ((Z (a; + £ |ä))2 = Zdx^ Id H = Z{d{,x — E f*))* 
die Gleichungen 
und 
x2 = x — ECk, y2=y — £Vk, z^ = z — E::k 
zwei isometrische Flächen dar, die wir uns beide durch die Linie 
1 
U]( = ji — arc cos ^ , 
die auf beiden Flächen in der Ebene 
Z = cos Uk 
gelegen ist, begrenzt denken. Damit ist die Existenz isome- 
trischer ebenrandiger, übrigens algebraischer Paare von Flächen- 
kalotten nachgewiesen. 
4. Die Bestimmung der Verbiegungen zweiter Ordnung 
für die Kugel ist nunmehr auf elementare Rechnungen und 
Ausführung von Quadraturen rationaler Funktionen zurück- 
geführt. In der Tat erhält man aus der Stamragleichung (18) 
unter Verwendung von (22) für jetzt eine Differential- 
gleichung von der Form 
(24) 
9» HO 9 
<•(1 - *•) 3 ,. + <(1 + 8 «» -<•) +(!-<*) 
/\ (f\ CO 
= (0 cos hv Bk it) sin h v ) , 
2 1 
3^ 
9u» 
wobei die Koeffizienten rechterhand Summen rationaler Funk- 
tionen sind. Die rechte Seite ist zunächst aus Produkten und 
Quadranten trigonometrischer Reihen zusammengesetzt, die nach 
den Sinus und Cosinus der Vielfachen von v fortschreiten, und 
