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H. Liebmann 
^ 1/ 1 + 2 ?* -f- ’ 
wobei gesetzt ist 
X=pX -j-qY—Z, 
und es ist nach (1) 
•’l ^2 y~ P '^2 ! Vt Q."! y.J ^2 2 '?2 • 
Differenziert man die erste Gleichung nach y und die 
zweite nach x, so erhält man 
>1-2 s - j = ;>j , 
und ebenso 
S -2 ^ ~ Xi ‘ 
(Nebenbei bemerkt, folgt aus diesen beiden Gleichungen 
- einerseits wieder (9), anderseits die partielle Differentialglei- 
chung für X und damit für 9", freilich in spezieller Gestalt, 
weil X und y, nicht die allgemeinen Flächenkoordinaten u und v 
als unabhängige Veränderliche gewählt sind.) 
Man erhält dann aus <f oder y durch Qua- 
draturen. Nimmt man eine bestimmte Lösung y’, so sind diese 
Komponenten sicher soweit regulär, als die Formeln anwend- 
bar sind, d. h. die ^'-Achse nicht zur Tangentialebene parallel 
ist, also vom Nordpol bis zum größten Parallelkreis. Dort hat 
man dann zu einem neuen rechtwinkligen Achsensystem Uber- 
zugehen, zu dessen .^•-Achse man die (auf der Drehachse senk- 
rechte) Normale wählt. Man kann im Sinne von Hilbert^) 
„schalenförmige Verschmelzung“ der Regularitätsgebiete vor- 
nehmen, d. h. die Fläche in vier einander zum Teil über- 
deckende Gebiete zerlegt denken, so daß kein Punkt, ausge- 
nommen den auch für rp singulären Südpol, außerhalb aller 
Regularitätsgebiete liegt. Hieraus folgt dann, daß t, C sich 
tatsächlich überall mit Ausnahme des Südpols regulär verhalten. 
Damit ist der zu Anfang dieser Nummer ausgesprochene 
Satz bewiesen. 
•) D. Hilbert, Grundzüge einer allgeineinen Theorie der Integrab 
gleichungcu VI (Gott. Nadir. 1910, 355—419). 
