A. Kneser 
die dem Innern des Konvergenzgebietes angehört, die Ungleichung 
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erfüllt^). Hier findet sich eine übrigens schon in der älteren 
Literatur begegnende Betrachtung über den Durchschnittswert 
der Reihe ^ (a;) auf dem Kreise ja;! = r, die aus der sonstigen 
Weierstraßischen Methode einigermaßen herausfäUt. Diese 
Durchschnittsbildung ist von Herrn Pringsheim*) wesentlich 
vervollkommnet und bezüglich der algebraischen Hilfsmittel 
noch elementarer gestaltet, als sie bei Weierstraß vorliegt; 
mit ihrer Hilfe beweist Herr Pringsheim verschiedene Haupt- 
sätze der allgemeinen Funktionentheorie, insbesondere den Lau- 
rentschen weit einfacher, als es bis dahin mit den Weier- 
straßischen Hilfsmitteln gelungen war. 
Denselben Zielen kann man aber auch nachstreben, indem 
man davon ausgeht, daß die komplexe Integration in gewissem 
Sinne der elementaren d. h. Weierstraßischen Funktionen theorie 
überhaupt nicht fremd ist. Die Differentiation und Integration 
werden algebraisch eingeführt, und zwar beim Beweis der 
Taylorschen Formel 
indem einfach als Definition der Ableitung die Gleichung 
( x ) = 0-1 4 - 2 «2 + • • • 
angesetzt wird, woraus sich die Definition des Integrals der 
Reihe ^(a;) durch die Gleichung 
^(x) = c + a,x^^f 
mit konstantem c von selbst ergibt. Ist nun 5p irgend 
eine analytische Fortsetzung des Funktionselements 'P (x) und 
Zl(x — o) das Integral von p (a; — o), so ist bei passender 
Wahl der Integrationskonstanten €l(x — o) die Fortsetzung 
Weierstraß Werke, Bd. 2, S. 224. 
Über Vereinfachungen in der elementaren Theorie der analy- 
tischen Funktionen. Math. Annalen, ßd. 47, S. 121 (1895). 
